毕业论文 Die Beschreibung primitiver Ideale durch ... 2013. 9. 13. · DIPLOMA THESE Die Beschreibung primitiver Ideale durch Hyperebenen und vorbereitete Gitterpunkte

diese Diplome

Beschreibung des ursprünglichen Ideals

Über Hyperebene und Gitterpunkte

in Produktion

Institut für Mathematik

gesendet

Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften

Universität Bonn

August 2011

Feng

Joanna Menell

außen

Bonn-Duisdorf

- Mein kleiner grüner Kaktus -

Index

1 Einleitung 7

1.1 Ungefähres Bild. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Ein Überblick über die grundlegenden Inhalte und Quellen dieser Arbeit. . . . . . . . Nummer 8

1.3 Hauptergebnisse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Tanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen 12

2.1 Konfiguration (A, t, φ) ähnlich zu (U(g), h, inkl) für die allgemeine Hülle

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Vorstellung der beteiligten Modulkategorien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Sym(t) Maximalideal in der symmetrischen Algebra. . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Notation und etwas algebraische Geometrie. . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Maximales ideales mα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 O(p) – Eine weitere Klasse von Modulen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1 Der Modul von O(p) und seinem Träger in t∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2 Einfach und projektiv in O(p). . . . . . . . . . . . . . . . . . vierundzwanzig

2.4.3 Zwei Verhältnisse zwischen Modulgewichten in O(p). . . . . . . 31

3 Zusammenhang zwischen dem Vernichter J(α) und der Peilung <α> von a

Einfacher Modul L(α) in O(p)36

3.1 Allgemeine Kommentare zu Vernichter und Uridealen. . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.1 Vernichter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.2 Das ursprüngliche Ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Beschreibung grundlegender Ideale in Algebra A

<α> Ionen in t∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.1 Das ursprüngliche Ideal J(α) von A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2 Ein Vektor einfacher Module – betrachtet als Region <α> in t∗. . . . 38

3.2.3 TOUR: Prim- und Halbprimärringe. . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.4 J(α) hat eine Eins-zu-eins-Entsprechung mit <α>. . . . . . . . . . 41

4 Technische Werkzeuge zur Änderung von A 49

4.1 Tensorprodukt zweier Konfigurationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Quotient und seine Einstellungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 Unteralgebren und ihre Konfigurationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Variation von Algebra A: Algebra Bχ. . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4.1 Konstruktion von Bχ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Verallgemeinerte Weyl-Algebren 59

5.1 Definition und erste Eigenschaft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 (A, t, φ)-Konfigurationen von Weyl-Algebren. . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Gewichtsraumzerlegung von Weyl-Algebren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4 Modulunterstützung für Weyl-Algebren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.6 Bχ-Algebren verallgemeinerter Weyl-Algebren. . . . . . . . . . . . . . 77

5.7 Ein weiteres Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉Bχ bis Bχ (her-

aus Weyl-Algebren) 84

6.1 Allgemeine Ergebnisse von Zariski-Abschlüssen für Netzwerkpunktkonfigurationen. .84

6.1.1 Konvexe Kegelgeometrie und technische Lemmata. . . . . . . . . . . 84

6.1.2 Konvexe Kegel und Netzwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2 Berechnung von 〈α〉Bχ. …………………………………………………………………………………………………………………… ……………… 91

6.3 Zusammenhangskomponenten von <α>Bχ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebra (abgeleitet von

Algebra) 101

7.1 Ursprüngliches Ideal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.2 Morita-Kontext zwischen Bχ und Bχ′

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.3 Ursprünglicher Werbespot. 107

7.4 Ausflüge: Goldierang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.4.1 Standort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.4.2 Geißblatt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.4.3 Goldierangfell Goldieringe。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7,5 Goldierang des ursprünglichen Händlers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.6 Erweiterungen: Polyeder, Polytope und Ehrhart-Polynome. . . . . . . . . . . . . 115

7.7 Anwendung von Earharts Theorie auf die <α>Bχ-Domänenfamilie. . . . . . . . . 118

7.8 Berechnung der Verwendung von Goldier-Intervallen für den Originalquotienten

Earhart-Polynome. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Literatur 129

1. Einleitung

1.1 Nahaufnahme

Besonders viel Spaß macht es, wenn man alle einfachen Module der Algebra A kennt.

Sortierbar. Leider negieren viele Algebren diesen Wunsch. also kannst du

Versuchen Sie, Vernichter zumindest aus unbekannten einfachen Modulen zu klassifizieren.

Dies sind die Ideale in A, auch einfach „primitive Ideale“ genannt. Einerseits ist es ein Anreiz

Für die kommutative Algebra A sind diese primitiven Ideale ebenso wertvoll wie die einfachen Ideale

Das Modul selbst liegt daran, dass die Leute ein einfaches Modul als den Quotienten von A nach seinem Zerstörer bezeichnen

geh zurück. Für den Fall des Nichttausches gibt es keine entsprechende Aussage. Allerdings offen-

Betrachtet man den Fall A = U(g), erweist sich die allgemeine Hüllkurvenalgebra als komplex

Halbeinfache Lie-Algebren, viele interessante Ergebnisse über primitive Ideale selbst.

Insbesondere nach dem Satz von Duflo reicht es aus, alle primitiven Ideale in U(g) zu beschreiben,

Überprüfen Sie das ursprüngliche Ideal der Unterkategorie O ⊂ U(g)-mod, weil: {Das ursprüngliche Ideal

Einheit (Gramm)

{Vernichter

L(λ) ∈ O

Dieser Satz und viele andere klassische Ergebnisse sind in [Jan83] zu finden und zeigen, wie

Die Beschreibung des ursprünglichen Ideals kann ausführlich sein (solange es nur A = U(g) ist)

Es ist fast unmöglich, das Sortiment aller einfachen Module zusammenzustellen

Die Sortierung gelingt mit g = sl2 in [Blo81]).

Neben der Bewertungsfrage gibt es noch viele weitere interessante Fragen.

Zur Frage des ursprünglichen Ideals: Man kann nach dem entsprechenden Quotienten fragen

Algebra A nach ihrem ursprünglichen Ideal, dem sogenannten Urquotienten?

Können Sie beispielsweise jede Größe berechnen? als es ein primitives Ideal war

in einem anderen enthalten? Die Beschreibung verschiedener einfacher Module ist gleich

Hast du einen Vernichter?

Diese Probleme werden besonders intensiv für die universell enthaltenen U(g)-Algebren von Jo-

seph hat [Jos80a], [Jos81] und [Jos80b] eingecheckt. Einer der wichtigsten Punkte ist die Berechnung

Berechnet den Goldierang des ursprünglichen Quotienten. Der goldenste GrkR(R)-Grad im R-Ring hat

verschiedene Beschreibungen, z. B. als Länge des klassischen Quotienten

um Q(R) selbst,

GrkR(R) = comprimentoQ(R)Q(R)

(Einzelheiten hierzu finden Sie im Kapitel 7.4). Im Fall g = sln ergibt sich ein Ergebnis

Aus [Jos80b, Satz 10.3] oder [Pre10, Satz B] und [Bru10, Satz 1.1]

Einerseits ist es eine Brücke zwischen dem einfachen Modul L(λ) und den relevanten Grundbedingungen

Andererseits gilt U(g)/Ann(L(λ)): Unter der Annahme, dass der einfache Modul endlichdimensional ist,

also es funktioniert

dim(L(λ)) = GrkU(g)U(g)/Ann(L(λ))。

Daher ist die wertvollste Klassifizierung primitiver Quotienten genau die einfache Moduldimension!

Normalerweise versucht man, den Rohquotienten mit Hilfe eines Polynoms zu berechnen

beschreiben. Dies ist ein sehr anhaltendes Problem – normalerweise nur

Oder lösen Sie nach mehreren Skalaren, siehe noch einmal [Jos80a]. im Einsatz

W-Algebren, eine Familie von Algebren, die von universellen Hüllkurven-U(g)-Algebren bis zu reicht

kommutative Algebra (d. h. Zentrum Z(g) von U(g)) (siehe [Los10]), erreichend

len [Pre10] und [Bru10] führen zu genaueren Ergebnissen. Insbesondere für Typen A, bei denen es sich um konkrete Polynome handelt

bekannt (siehe [Bru10, Satz 1.6]).

Duflos Theorem und die Beschreibung des ursprünglichen Ideals im Goldenen Messgerät

Andere Algebren erfordern ebenfalls Ordnungspolynome.

1. Einleitung

In dieser Arbeit umfasst die Algebra A die klassische Konfiguration

Algebren, die (teilweise) semisimple Lie-Algebren nachahmen. Auch hier gibt es eine Art „Cartan-Subalgebra“.

t, die über eine adjungierte Operation auf A wirkt, also ist A insofern in einen Gewichtsraum unterteilt.

Allerdings ist A nicht unbedingt die Hülle einer bestimmten Lie-Algebra. dagegen sein

Abschnitt: An den Gewichtsraum von A im klassischen Satz werden zusätzliche Anforderungen gestellt

tings gelten überhaupt nicht: Sie müssen mit Sym(t) aus nur einem Element erstellt werden. sehen

Zunächst vielleicht unter unnatürlichen Bedingungen, aber eine solche Algebra erscheint in der Form

Die verallgemeinerte Weyl-Algebra A, der polynomiale Differentialoperator in kr×(k∗)s,

und einige Unteralgebren von Invarianten und ihren freien Zentralquotienten

Verlassen Sie sich. Das Gleiche gilt für diese verallgemeinerten Weyl-Algebren

A = [x1, . . . , xr, x±1r+1, . . . , X

±1n , ∂1, . . . , ∂n]

hat die übliche Beziehung [xi, ∂i] = −1, auf die wir uns besonders eingehend einlassen werden

werden.

Solche Algebren werden von Musson und van den Bergh in [MVdB98] diskutiert. Dieser Artikel

war Grundlage dieser Arbeit, die dort durchgeführten Untersuchungen sind hier wiedergegeben

und im Detail ausführen. Darüber hinaus erhält der Leser einige grundlegende Informationen

Pflege. Hierzu zählen insbesondere die Kapitel 2 bis 5, in denen allgemeines Hintergrundwissen erforderlich ist

Eine ausführliche Diskussion verallgemeinerter Weyl-Algebren, wo

Es werden auch konkrete Beispiele berechnet. Wegen der wunderbaren Klassifikation der Weyl-Algebren

Die Möglichkeit, primitive Ideale durch die Geometrie von Polyedern und Gittern zu verwirklichen

Daher ist Kapitel 6 ein Abstecher in die Welt der polyedrischen Geometrie, was zu Folgendem führt:

Aufgegriffen am Ende von Kapitel 7: Einerseits erzählt das Werk vom Schönen

Ergebnisse aus [MVdB98], andererseits nutzen wir den Zusammenhang zwischen Pri-

Mit dem Ideal und seiner Beschreibung durch Gitterpunkte in Polytopen

Außerhalb, unter bestimmten Bedingungen, der Goldierang des ursprünglichen Kaufmanns (diese Orte und

wird hier näher erläutert) anhand von Ehrhart-Polynomen. Diese Methode bietet

Vollständig deterministische Goldierang-Polynome, einschließlich aller Skalare.

1.2 Übersicht über die grundlegenden Inhalte und Quellen dieses Artikels

Wette

Wie bereits erwartet: Diese Arbeit basiert weitgehend auf

Musson und van den Bergh [MVdB98]. Aber es gibt ein paar Abschweifungen und Einwürfe

Grundlegende Konzepte, dann benötigen Sie eigene Literatur, z.B. (semi)primo

Ringe [Lam91], [Lam99], Weyl-Algebren [Cou95] oder Polyeder und Ehrhart-Polynome

[Zie95], [BR07] - Es werden nur grundlegende Themen aufgeführt.

Hinweise zum allgemeinen Bezug zur Algebra finden sich auch im gesamten Buch.

Komplexe und halbeinfache Lie-Algebren g – wann immer sich ein Vergleich lohnt

zum klassischen Setting. Beziehen Sie sich hierzu üblicherweise auf [Jan. 83] oder den Originaltext von Joseph

[Jos80a], [Jos80b]. Diese Anmerkungen definieren Standardsymbole und einige

Fakten zur Kategorie BGG O. Sie dienen vor allem der Veranschaulichung und Motivation.

in Gedanken, aber es kann auch einfach ignoriert werden, da der Rest der Arbeit nicht in ist

Baue sie. Insbesondere wird keine Integritätserklärung abgegeben, dies ist jedoch der Fall

Es gibt entsprechende Verweise auf [Hum08] und [Jan83], wo Einzelheiten zu finden sind.

Hier ein kurzer Überblick über die verschiedenen Kapitel dieser Arbeit:

• Kapitel 2: Definitionen und Grundaussagen.

In diesem Kapitel klären wir zunächst, welche Module wir auf welchen Algebren verwenden.

lernen. Der Fall der universellen Algebra U(g) ist semieinfach

Verwenden Sie die Cartan-Subalgebra hincl↪→g, um die Lie-Algebra g zu imitieren. Hier ist eine „Konfiguration“.

1. Einleitung

(A, t, φ) sollte die Rolle von (U(g), h, inkl) übernehmen. aber wir werden auch ankommen

Sprechen Sie über die Unterschiede zwischen A und U(g). Denken Sie von jetzt an darüber nach

Knoten 10 A-Module mit t*-Klassifizierung. In diesem und dem nächsten Kapitel wird alles so sein

Machen Sie sich auf die Suche nach dem ursprünglichen Ideal von A. Dabei arbeiten wir daran

Geführte Suche nach primitiven Idealen analog zu Theoremen

Duflo-Führer: Erstklassig Eine Einschränkung des Umfangs des Grmod-Moduls

zu einer nützlichen Unterkategorie, in die das ursprüngliche Ideal eingeordnet werden kann.

Im nächsten Kapitel erfahren Sie, dass Sie bereits alle Grundelemente verwenden können

Ideal wie in A beschrieben.

Daher müssen „nützliche Unterkategorien“ definiert und überprüft werden. aufgrund ihrer Vorfahren

Die Wahrscheinlichkeit, Klasse O zu haben, bezeichnet durch O(p). wir verlieren

Am Ende des Kapitels noch ein paar Worte zu Projektionen und einfachen Modulen und den ersten Schritten

Könnte an Vektoren einfacher Module in O(p) interessiert sein (d. h.

Gewichte aus dem t*-Binning-Modul), werden wir im nächsten Kapitel sehen

Investieren Sie umfassender.

Alle notwendigen Aussagen und Notizen stammen von Mus-

Söhne und Vandenberg [MVdB98].

• Kapitel drei: Die Beziehung zwischen dem Vernichter und dem Dämonenhalter——

Lass mich O(p).

Nach einer allgemeinen Einführung in Annihilator und Capturing Primal Ideals

Befestigen wir ein einfaches Annihilator-Modul an seinem Träger

bringen. Einfache Modulklammern unterteilen t∗ in „Regionen“ <α> und man

Schließlich erhält man mit [MVdB98, Theorem 3.2.4] die Beschreibung des ursprünglichen Ideals

Algebra A durchläuft den geschlossenen Bereich <α>.

Die Ergebnisse von [MVdB98] werden in diesem Kapitel auch außerhalb des Themas vorgestellt

Basierend auf [Lam99].

• Kapitel 4: Änderung der Engineering-Tools von A.

Um die Algebra A und die zugehörige Konfiguration zu ändern, a

Schub-Konfiguration für Tensorprodukte, Quotienten und Subalgebren.

Insbesondere für eine Bχ-Algebra ist die modifizierte Kombination von A

führte: Betrachten Sie die Invariante unter der Wirkung des Unterraums g⊂te

Dann wenden Sie sich an den Mittelsmann.

• Kapitel 5: Verallgemeinerte Weyl-Algebren.

Von diesem Kapitel an (fast) nur noch Weyl-

Algebra A und ihre Modifikation Bχ. es gibt viele darüber

Übertragen Sie die üblichen Weyl-Algebren auf A, insbesondere sollte geklärt werden, wer das ist

Die Rolle von t und wie die räumliche Gewichtszerlegung von A in dieser Hinsicht aussieht.

Nach einer langen Berechnung endet moo mit einer guten Beschreibung des Benutzers.

Weyl-Algebren werden in Form von Z-Netzwerken belohnt. Dies ermöglicht auch die spezifische Formel

Für die Durchführung einfacher Module zu Weyl-Algebren gehen wir detailliert auf einige ein

Ein Beispiel (wörtlich

Bedeutung des Wortes). Für verallgemeinerte Weyl-Algebren haben Bχ-Algebren auch a

Beispiel einer langen Illustration.

• Kapitel 6: Geometrische Beschreibung von Bχ-umschlossenen Regionen (hervorgehoben

Ableitungen von Weyl-Algebren).

Das Bild aus dem vorherigen Kapitel inspiriert, warum Sie sich jetzt mit Geometrie befassen

Konvexe Polyeder, Polyeder und Gitter, die in sind

1. Einleitung

dieses Kapitel. Dies gibt uns eine geeignete Sprache, um <α> zu beschreiben. Um

Bei <α> angekommen, dem allgemeinen Ergebnis des Zariski-Schließens des Gitters

Einstellungen vornehmen und endlich eine klare Parametrierung erhalten

Geschlossener Bereich <α>.

[Ful93] und [Oda88] für die Begründung für polyedrische Kegel, nämlich

Gehen Sie zu <α> und ändern Sie es zurück in [MVdB98], wobei die Beschreibung von <α> ein bisschen ist

wurde vereinfacht.

• Kapitel 7: Grundlegende Idealstrukturen von Bχ-Algebren (aus

Algebra de Weyla).

Im letzten Kapitel werden die erzielten Ergebnisse zusammengefasst.

Primitive Ideale von Bχ-Algebren, zentrale Invariantenquotienten

Verallgemeinerte Weyl-Algebren. Schauen wir uns als nächstes den primitiven Quotienten an

Bχ's: Dank der Ergebnisse im Geometriekapitel können diese auch leicht gelöst werden

Leicht zu beschreiben. Insbesondere [MVdB98] durch Zahlung

Die verbundenen Komponenten des entsprechenden geschlossenen Bereichs.

An dieser Stelle ist ein Rundgang durch Goldringe und goldene Eheringe angebracht.

Wir bauen auf [Lam99], [Jan83] und [Dix96] auf und diskutieren einige davon

Definition des Goldierangs des Hauptrings des Noether-Rings.

Wie im ersten Teil dieser Einführung erwähnt, sind wir daran interessiert

Goldierang ermöglicht die Angabe von Goldierang-Polynomen. Dazu übersetzen wir −

Unter geeigneten Bedingungen g ⊂ t - die Zahlung zusammenhängender Komponenten -

Flächen, die durch ordnungsgemäße Bezahlung von Rasterpunkten abgeschlossen werden

vielzelliger Körper. Verwenden Sie dazu die Netzwerkpolytopie aus dem vorherigen Kapitel, Ehrhart

Polynome (es gibt einen weiteren Exkurs zu diesem Thema unter Verwendung von [Zie95]

und [BR07]).

Daher beschreibt diese Arbeit die spezifischen Goldierang-Polynome des ursprünglichen Quotienten

Die te Familie der algebraischen Familie der Form Bχ.

1.3 Hauptergebnisse

Wir betrachten verallgemeinerte Weyl-Algebra-Konfigurationen (A, t, φ) im Sinne von [MVdB98],

Siehe Kapitel 2.1. Über die Unterordnungsalgebra g ⊂ t und den „Zentralcharakter“ χ ∈ g∗

Gehen wir zum Mittelsmann

Bx = Ag/(g− x(g))Ag

mehr als. Anschließend untersuchen wir ein einfaches Modul L(α) mit Gewichten α ∈ t∗ und seinen Vernichter

J(α)=Ann(L(α)) in Bχ, unter Berücksichtigung des Goldrangs des primitiven Quotienten Bχ/J(α).

Wenn wir χ ∈ g∗ haben und dann

Die Gewichte α ∈ t* variieren mit ganzzahligen Faktoren x ∈ Z>0.

Das Hauptergebnis hier ist das goldeneste Sortiment in einer so originellen Familie

Der Quotient variiert nahezu polynomisch mit dem Skalierungsfaktor x, also endlich

Geben Sie mehrere Polynome in x an. Wir beschreiben dieses Verhalten konkret bei Ehrhart -

Quasi-Polynom. Daher sind die Rationalitätsbedingung und die Zerlegungsbedingung in g∗

Annahme.

Satz 1.3.1. Sei (A, t, φ) eine verallgemeinerte algebraische Weyl-Konfiguration. wähle ein Kind

Algebra g ⊂ t mit Rationalitätsbedingungen und Zerlegungsbedingungen (Ann1) bis (Ann3).

Betrachten Sie die ursprüngliche Quotientenfamilie Bxχ/J(xα) des zentralen Quotienten Bxχ = Ag/(g−xχ(g))Ag, abhängig von x ∈ Z>0. Hier ist J(xα) der Nullifier des einfachen Moduls L(xα)

zum Gewicht xα.

1. Einleitung

Daher ist die am meisten vergoldete Klassifizierung des ursprünglichen Quotienten ein Quasipolynom in x, gegeben durch

Ehrharts Quasipolynom EHPQ auf geeigneten rationalen Polytopen Q

GrkBxχ/J(xα)(Bxχ/J(xα)) = EHPQ(l(x)),

wobei der Streckungsfaktor l(x) aus x durch integrale lineare Skalierung erzeugt wird: transform

Die Skalierung erfolgt durch l(x) = ax+ b, wobei a, b ∈ Z>0.

Einzelheiten zu den Annahmen von g und dem entsprechenden rationalen Polytop Q finden Sie unter

Kapitel 7.7 und 7.8.

1,4 feucht

Mir gefällt, dass Prof. Dr. Catharina Stroppel dieses Werk leitet

Danke! Vielen Dank für die unermüdlichen hilfreichen Diskussionen, zusätzlichen Kommentare, viele

Eine Fülle an Perspektiven und insgesamt eine tolle Unterstützung in allen Phasen

arbeiten!

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

2.1 Die Konfiguration (A, t, φ) ähnelt (U(g), h, inkl) für uni-

Verkaufe geschlossene Algebra

Sei A eine k-Algebra, wobei 1, der Grundkörper k algebraisch abgeschlossen sein und die Charakteristik haben muss

Theristic 0. Wir wollen uns das Graduate A-Modul ansehen. zuerst den Abschluss machen

von A, die als räumliche Zerlegung der Gewichte von A erhalten wird.

Definition 2.1.1. Ein k-Vektorraum mit fester endlicher Dimension t. Simulation definieren

Metrische Algebra über t:

Sym(t) := T(t)/({x⊗ y − y ⊗ x | x, y ∈ t}),

daher

T(t) :=⊕n≥0

t⊗n

ist die Algebra der Tensoren über t (t⊗0 := k).

Bemerkung 2.1.2 (Beziehungen zur allgemeinen Beteiligungsalgebra).

Wenn t als abelsche Lie-Algebra betrachtet wird, d. h. [t1, t2] := 0 für alle t1, t2 ∈ t, dann ist Sym(t) = U(t)

Liet-Algebren sind im Allgemeinen verwandte Algebren.

Definition 2.1.3 (Die Rolle von t in Algebra A). Sei φ : t → A k linear

Zuordnung so, dass sein Bild in A aus Paaren umgeschalteter Elemente besteht. OK

Aufgrund der Allgegenwärtigkeit der Tensoralgebra ist die lineare Abbildung φ nun möglich

Der einheitliche Homomorphismus der k-Algebra T(t) → A aufgrund der Kommutativität

Es hat Faktoren von Sym(t)→A. Bezeichnen Sie auch diesen um φ erweiterten Homomorphismus.

t wird nun mit einer zusätzlichen Aktion auf A angewendet

[t, a] := [φ(t), a] = φ(t) · a− a · φ(t) fur t ∈ t, a ∈ A,

Dabei sollten folgende Annahmen gelten:

A1: A ist der semi-einfache Modul t bezüglich der additiven Wirkung [t, a].

A2: Der Gewichtsraum von A relativ zur Zusatzwirkung [t, a] wird ermittelt aus

Ein einzelnes wr-Element. Multiplikation in A, erzeugt mit φ as

d a := φ(d) a para d ∈ Sym(t) e a ∈ A。

Bemerkung 2.1.4 (Links zur allgemeinen Beteiligungsalgebra).

Aufgrund der Kommutativität des Graphen von φ ist φ ein Homomorphismus der Lie-Algebra: φ([t1, t2]) =

0 = (φ(t1)φ(t2) − φ(t2)φ(t1)). Daher entspricht φ in Sym(t).

Homomorphe Algebren, nur allgemeine universelle Eigenschaften

Verkauft die Hüllkurvenalgebra Sym(t) der Lie t-Algebra. Die oben erläuterte Auswirkung von t auf A ist

Die Rolle von Lie-Algebren, die Induktion von Sym(t) auf A und verwandte Algebren

Es ist gemacht.

Definition 2.1.5 (Konfiguration (A, t, φ)). Wenn A, t und φ : t → A wie oben, und

Wenn sowohl (A1) als auch (A2) erfüllt sind, nennen wir es eine dreifache (A, t, φ)-Konfiguration.

Bemerkung 2.1.6 (Links zur allgemeinen Beteiligungsalgebra).

Eine solche Konfiguration (A, t, φ) muss an den algebraischen Fall der universellen Einhüllenden U(g) angepasst werden

Erinnern Sie sich an eine halbeinfache Lie-Algebra g mit einer Cartan-Unteralgebra t. Geh dort lang

Ein Triplett von (U(g), h, inkl) wurde hinzugefügt. Tatsächlich ist das generische Attribut (A1)

Treffen wir uns. Allerdings erfüllen allgemeine Umschläge U(g) im Allgemeinen nicht.

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Grundstück (A2)! (Nach einer Variante des PBW-Theorems ist jeder Raum mit dem Gewicht U(g)λ

[Hum78, Korollar 17.3.C] Sym(h) frei erzeugt aus allen Monomen in U(n−) ⊗ U(n+),

Sie haben ein Gewicht von λ – viel sogar im Fall von sl2. ) Algebra U(g) und A

Also grundlegend unterschiedlich, obwohl beide die gleiche Unteralgebra U(t) = Sym(t) haben.

Aus diesem Grund werden wir t im Folgenden gelegentlich als „cartan“ bezeichnen.

Definition 2.1.7 (Abschluss). Sei (G,+) eine abelsche Gruppe. darin definiert

Die Graduierung der folgenden Objekte (vergleiche z. B. [Kun97, Definition

A.1 Summe A.6]):

• Ein Ring R wird durch G bewertet, wenn er in der direkten Summe eine abelsche Gruppe ist

R =⊕α∈G

Der Rα-Zerfall ermöglicht die Aufrechterhaltung von RαRβ ⊂ Rα+β.

• Wenn eine Algebra A ein direkter Summenvektorraum ist, gehört sie zur Klasse G

A =⊕α∈G

Aα zerfällt, sodass AαAβ ⊂ Aα+β immer noch existiert.

• Wenn in diesem Fall Modul AM ein Vektorraum in a ist, dann ist Modul AM von G abgestuft

Gerade Summe M = ⊕α∈G

Ma zerfallt, soddas AαMβ ⊂Mα+β 特金。

In allen Fällen stellt der Abschluss einen zusätzlichen Termin dar.

Definition 2.1.8 (homogene Submodule und homogene Ideale).

• Wenn für jedes Element ein Untermodul U ⊂ M eines hierarchischen Moduls M homogen ist

u = ∑α∈G

uα, uα ∈ Mα, und die homogene Komponente uα ist in U enthalten

sie sind. Äquivalent dazu wird U durch homogene Elemente in M erzeugt [Kun97, definierend

A.7 und Lemma A.8].

• Auf die gleiche Weise wird das homogene Ideal I des Skalenrings R definiert: Für jedes Element

a ∈ I Zerlegung a = ∑α∈G

aα in R müssen alle homogenen Komponenten aα sein

bei mir schon dabei.

Hinweis 2.1.9. Aus den Eigenschaften (A1) und (A2) folgt unmittelbar:

i) Wenn die Aktion Sym(t) multipliziert mit d·a = φ(d)·a in (A2) eine linke Aktion ist

auf einen. Sie können den gleichen Effekt haben wie φ(d) a =: a d, aber auch legal

Da das Bild von φ selbst kommutativ ist, gilt φ(t1)φ(t2) = φ(t1t2) = φ(t2t1) =

φ(t2)φ(t1). Beachten Sie jedoch, dass dies nicht bedeutet, dass φ(d) · a = a · φ(d).

Er muss!

ii) Aus (A1) wissen wir, dass es eine räumliche Zerlegung der Gewichte gibt

A =⊕α∈t∗

Aα, Aα := {a ∈ A | [t, a] = α(t)a für alle t ∈ t},

Dies macht A zu einer abgestuften t*-k-Algebra:

A ist ein semieinfaches t-Modul, also eine direkte Summe einfacher Submodule. in einem

In einem solchen einfachen Untermodul U funktioniert t jedoch über α ∈ t∗ (was bedeutet, dass [t, a] =

α(t)a für alle t ∈ t, a ∈ A), kann wie folgt betrachtet werden: Ähnlich wie zuvor

Hier ist es auch möglich, der algebraischen Operation die Zusatzoperation t → Endk(U) hinzuzufügen

Erweitern Sie Sym(t) → Endk(U) (dies ist möglich, weil ad(t1)ad(t2)(a) = ad(t2)ad(t1)(a)

Das ist). Da U einfach ist, gilt für ein maximales Ideal m ⊂ Sym(t) U∼= Sym(t)/m. als

Wie in Abschnitt 2.3 zu sehen ist, ist Sym(t)/m ∼= k, also Endk(U) ∼= k, und

Die algebraische Wirkung von Sym(t) auf U wird durch α ∈ Homk−alg(Sym(t), k) beschrieben.

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Wenn Sie dies wieder auf das beschränken, was t tut, können Sie t damit erreichen

α ∈ Homk(t, k) = t∗ Verhalten. Alle einfachen Untermodule von t in A wirken durch α,

Zusammengefasst im Aα-Gewichtsbereich. Daraus ergibt sich eine t*-Klassifizierung

A wegen [t, ab] = [t, a]b+ a[t, b] = (α+ β)(t)ab fur a ∈ Aα, b ∈ Aβ und t ∈ t。

iii) jedes zweiseitige Ideal in A erbt diese Klassifizierung und wird dann selbst abgestuft,

Das heißt, durch den Abschnitt I∩Aα=: Iα. Warum das funktioniert, wird in Lemma 2.4.13 erklärt

genauer erklärt.

iv) Sym(t) wird durch φ in den Gewichtsraum A0 abgebildet, da für d ∈ Sym(t) gilt:

[t, φ(d)] := [φ(t), φ(d)] = φ([t, d]) = φ(0) = 0,

Dann ist φ(d) ∈ A0.

v) Bedingung (A2) impliziert, dass Sym(t) surjektiv auf einen beliebigen Gewichtsraum Aα abgebildet wird.

Für einen Generator aα ∈ Sym(t) ist die Surjektion gegeben durch d 7→ φ(d) · aα. anders

Angenommen, in jedem Gewichtsraum gibt es ein Element aα

Aα = φ(Sym(t)) · aα。

vi) Insbesondere kann eine 1 in A als Generator von A0 gewählt werden: Tatsächlich ist 1 ∈ A0,

Es gibt also ein d ∈ Sym(t) mit

1 = φ(d)a0。

Andererseits ist a20 ein Element des Gewichtsraums A0, also gilt

d′ ∈ Sym(t), que

a20 = φ(d′)a0

gehorchen. Die Multiplikation mit φ(d) ergibt

a0 = φ(d)a20 = φ(d)φ(d′)a0 = φ(d′)φ(d)a0 = φ(d′) · 1,

Es ist also auch möglich, anstelle von a0 1 als Generator zu wählen.

Motto 2.1.10. Den Attributen (A1) und (A2) entsprechen die folgenden Abkürzungen:

A1’: A =⊕α∈t∗

Aα ist mit zusätzlichen T-Links-Aktionen verbunden.

A2': Sym(t) � Aα, das heißt, Aα ist relativ zur Multiplikation Sym(t)-

linker Effekt.

Beachten Sie jedoch: Der Raum der Aα-Gewichte muss nicht einfach auf den angrenzenden Raum bezogen werden.

T-Links-Effekt, der die Summe mehrerer Einzelgewichtsräume sein kann

Das Gewichtsverhalten α, zusammengefasst unter dem Namen Aα.

beweisen. Die letzte Beobachtung hat die Eigenschaften von (A1) und (A2) gezeigt

(A1') und (A2') sind wie folgt. In die andere Richtung gibt es nichts zu zeigen. ,

2.2 Einführung in die beteiligten Modulkategorien

Definition 2.2.1 (Modul zu A und Sym(t)). Wir stellen einige Symbole vor

Modultheorie (möglicherweise unendlichdimensional) auf A und Sym(t):

• A-mod:Links-A-Moduln

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

• A-grmod: Left-A-Module mit t∗-Gradierung, so dass für m ∈ Mα, a ∈ Aβ gilt:

a•m ∈ Ma+β 。

Der Morphismus muss ein (graderhaltender) Homomorphismus des in t∗ abgestuften Moduls A sein

werden.

• Sym(t)-mod:Links-Sym(t)-Moduln

• mod-Sym(t): Modulo Right-Sym(t)

• A-bimod-Sym(t)：(A,Sym(t))-Bimoduln

Anmerkung 2.2.2 (Modul in A-(gr)mod zu Sym(t)-mod und mod-Sym(t)

machen). Es gibt zwei spezifische Ansätze, die von Interesse wären. Einerseits kann jeder das Modul A nutzen

Dies kann mit φ in einen Modul Sym(t) umgewandelt werden: Sym(t) → A:

t•m︸︷︷︸links-Sym(t)

:= φ(t)•m︸︷︷︸links-A

für t ∈ t und weiter in Sym(t).

Da Sym(t) eine kommutative Algebra ist, kann sie links und rechts geschrieben werden.

Sehen Sie, wie Links funktionieren:

m•d︸︷︷︸rechts-Sym(t)

:= d•m︸︷︷︸links-Sym(t)

Für Module A mit Abschluss t* besteht zusätzlich die Möglichkeit der Nutzung von via

t•m := (φ(t)− α(t))•m fur t ∈ t, m ∈Mα

Erklären Sie die modulare Struktur Sym(t) im Hinblick auf die multiplikative Fortsetzung in Sym(t). Genau genommen

Der algebraische Einfluss ist definiert, weil nach der Definition der

Ein Generator, der die einzigartige Beziehung in Sym(t), Kommutativität, getreu erfüllt:

(t′• (t•m)) = t′• (φ(t)− α(t))m

= (φ(t′)− α(t′))(φ(t)− α(t))m bem φ(t) ∈ A0 und also (φ(t)− α(t))m ∈Mα

= (φ(t)− α(t))(φ(t′)− α(t′))m

= (t• (t′•m))。

Auch hier macht die Kommutativität in Sym(t) dies zu einem Recht und einem Recht.

Der Effekt auf der linken Seite ist.

Bemerkung 2.2.3 (Links zur allgemeinen Beteiligungsalgebra).

Wenn wir t erneut als abelsche Lie-Algebra behandeln, können wir prägnanter sagen: Sym(t) → Endk(M)

ein Morphismus der Algebra ist, dann ist t → Endk(M) : t 7→ φ(t) − α(t).

Lügenalgebra ist.

Vorschlag 2.2.4 (Modul in A-grmod-Modul in A-bimod-Sym(t) erstellen).

Eines mit Isomorphismus (vollständige Treue zu Morphismen und Bijektionen von Objekten)

Blutegel

A-grmode −→

M ∈ A-bimod-Sym(t)

‖‖‖‖‖‖M semisimples bzgl

Sym(t)-Hilfsfunktion

[t,m] := φ(t)·m−m·t

Reis=

⊕α∈t∗

Mutter

(Abstrakter Abschluss)

7→ M =⊕α∈t∗

Mutter

(Gewichtsraumzerlegung),

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

wobei M ∈ A-grmod die Zerlegung auf der linken Seite der gegebenen Zusammenfassung ist

Absolvent. Rechts ist eine vollständige Unterklasse von A-bimod-Sym(t)

Bedeutet, dass M so verstanden wird, dass es in M unter der Nummer seines Vorgängers enthalten ist

Behält eine modulare Struktur links und M rechts der Form Sym(t) bei

m•d := (φ(d) − α(d))m für m ∈ Mα (gilt also nur für d ∈ t).

Fahren Sie dann mit der Multiplikation und der Zerlegung von M ∈ A-bimod-Sym(t) der fort

Die Gewichtsraumzerlegung des gemeinsamen Effekts auf t,

[t,m] := φ(t)•m︸︷︷︸links-A

− m• t︸︷︷︸rechts-Sym(t)

Hinweis 2.2.5. Um die Schreibweise zu vereinfachen, lassen wir φ weg

ed Sym(t) ist auf ewig gültig. Es scheint, dass ich höchstens zur Klarstellung

Denn die Wirkung ist das, was sie jetzt bedeutet.

beweisen. Gut definiert auf A-grmod-Objekten: Sei M = ⊕α∈t∗

Mα ∈ A-grmod. Anwendbar

In der Tat M ∈ A-bimod-Sym(t):

• Die beiden Effekte sind vertauscht, das heißt, M ist tatsächlich bimodal:

Seien a ∈ Aβ ,m ∈ Mα, t ∈ t。

a• (m• t) = a• ((t− α(t))•m)

= a·(φ(t)m− α(t)m),

Nachdem wir die Wirkung von t auf M über A auf M definiert haben,

= aφ(t)•m− α(t) · a•m= −([φ(t), a]− φ(t)a)•m− α(t) · a•m= (−β( t) + φ(t)− α(t))•a•m,

Weil t auf diese Weise auf A wirkt: Die Gewichtsraumzerlegung funktioniert für

= (t− (α+ β)(t))•a•m

= (a·m)·t,

Weil a·m im Gewichtsraum Mα+β liegt.

• Die Zerlegung von M ∈ A-bimod-Sym(t) ist eigentlich a

Gewichtsraumzerlegung zusätzlicher Effekte bezüglich t:

[t,m] := φ(t)•m−m• t = φ(t)•m− (φ(t)− α(t))m = α(t)m fur m ∈Mα(1)

Dies ist auch für A-grmod-Morphismen gut definiert:

• Sei f ∈ HomA-grmod(M,N), dann ist f auch ein A-bimod-Sym(t)-Morphismus:

f(a·m) = a·f(m) ist ohnehin klar, da A auf beiden Seiten die modulare Struktur verlassen hat

und selbst. Außerdem ist für m ∈ Mα und t ∈ t f(m t) = f((φ(t) − α(t))m) =

(φ(t)−α(t))(f(m)) = (f(m))• t, denn im letzten Schritt können wir erkunden

f ∈ HomA-grmod(M,N) durch f(Mα) ⊂ Nα. Weiter in Sym(t).

Damit ist auch f(m·d) = f(m)·d erledigt. Daher ist f auch in HomA-bimod-Sym(t)(M,N).

Dadurch wird der Funktor zur Laufzeit interpretiert. Für die entgegengesetzte Richtung definieren wir

Es ist auch sinnvoll, Funktoren durch umgekehrtes Lesen der Karte anzuzeigen

fähig:

im Objekt:

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

• Sechs M = ⊕α∈t∗

Mα ∈ semi-einfaches A-bimod-Sym(t) für die adjungierte t-Aktion. Das

Es ist auch eine Skala t∗: Aβ·Mα ⊂Mα+β , weil

[t, am] = φ(t)(am)− (am)t

= ([φ(t), a] + aφ(t))m− a(mt)

= (β(t)a+ aφ(t))m− a(mt)

= β(t)am+ a([t,m])

= β(t)am+ aα(t)m

= (a+ b)(t) am.

Kommen wir nun zu den Morphismen:

• Aus f ∈ HomA-bimod-Sym(t)(M,N) folgt f ∈ HomA-grmod(M,N), da m ∈ Mα, da

[t, f(m)] = φ(t)• f(m)− (f(m))• t = f(φ(t)•m−m• t) = f([t,m]) = f(α(t)m) = α(t)f(m)

Tatsächlich ist f(m) ∈ Nα.

Schließlich ist klar, dass der Funktor und seine Umkehrung nacheinander ausgeführt werden.

Identitätsergebnisse für beide Kategorien: Das Einzige, was bei einem Objekt schief gehen kann, ist

Angetrieben durch einen Roundtrip ändert sich die Bestellung, wenn die Nichtbestellung offensichtlich wird

Objekt M hat keine Änderungen. Wie in (1) zu sehen ist, wird bei der Ausführung von Mα

Tatsächlich dient es dazu, einen Gewichtsraum für das α-Gewicht zu schaffen. Mit Rucklenkung geht alles gut, denn

Die „abstrakte Einstufung“ von M ist genau die „natürliche Einstufung“ nach Gewicht

Die Zerlegung des Raumes wird erklärt. Morphismen bleiben in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung gleich

Links, also ist die sequentielle Ausführung auch gleich. ,

2.3 Sym(t) ideale Maxima in der symmetrischen Algebra

Hinweis 2.3.1. Als k-Algebra ist Sym(t) isomorph zu einem Polynomring von n Variablen, wenn

dim(t) = n: Dies erfordert eine Basis t1, . . . , wähle tn aus t und sende ti an Xi: Das ergibt

Algebra T(t)→k[X1, . . ,

Durch Isomorphismus Sym(t) ∼= k[X1, . . . , Xn].

Daher interpretieren wir Sym(t) hauptsächlich als Polynomring. Wo es Polynomringe gibt,

Die klassische algebraische Geometrie ist nicht mehr weit:

2.3.1 Notation und etwas algebraische Geometrie

Hier werden einige Definitionen aktualisiert und Symbole eingeführt. Das Thema ist

Ansonsten gut dokumentiert, siehe z.B. [Eis95, Kapitel 1.6], [Har77], [Kun97] oder

[Mat89, Kapitel 4]. Wir beginnen mit einem beliebigen kommutativen Ring R. still stehen

k = k。

Definition 2.3.2. Sei Spec(R) immer die maximale ideale Menge von R:

Spec(R) := {m ⊂ R | m maximales Ideal }

Diese Notation ist normalerweise Primidealmengen vorbehalten. Start

Es wurde jedoch die Basisartikelnotation [MVdB98] übernommen. Es existiert

Hier besteht keine Verwechslungsgefahr, da wir vom größten Ideal gesprochen haben

werden.

Definition 2.3.3.

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

• Sei I ⊂ R der ideale Wert. Definieren Sie Ihre Nullmenge V(I) := {m ∈ Spec(R) | I ⊂ m} ⊂Spec(R).

• Sei V ⊂ Spec(R) eine Teilmenge. Definieren Sie Ihr evaneszentes Ideal I(V ) :=⋂

m∈Vm ⊂ R。

Wir beachten folgende Berechnungsregeln:

Bemerkung 2.3.4 (Eigenschaften von V(−) und I(−)). Anwendbar

i) V (I ∩ J) = V (I J) = V (I) ∪ V (J) Für ein Ideal I, J in R, das Produkt von zwei

Ein Ideal besteht aus den Elementen, die die Form der Summe von Produkten haben

Jeder hat Ideale und Elemente des anderen.

ii) V (∑λ∈Λ

Iλ) =⋂λ∈Λ

V (Iλ) für jede Familie Λ des idealen IΛ in R.

und (wenn R eine endlich erzeugte k-Algebra ist)

iii) I(V(I)) =⋂

m⊃Im = rad(I), wobei die Wurzel des Ideals I ⊂ R als rad(I) := definiert ist

√I := {r ∈ R | ∃n : rn ∈ I}

iv) I(V1 ∪ V2) = I(V1) ∩ I(V2)

v) I(⋂λ∈Λ

Vλ) = I(V (∑λ∈Λ

I(Vλ))) = rad(∑λ∈Λ

I(Vλ))

(vgl. [Kun97, Kapitel I.3, Kapitel III.1], angewendet auf das Maximalideal, und

[Mat89, Satz 5.5] In Anbetracht der Tatsache, dass wir es hier mit einem Endlichen zu tun haben

erzeugte k-Algebren).

Definition 2.3.5 (Zariski-Abschluss). Der Zariski-Abschluss der Menge M ⊂ Spec(R) ist

Definiert als M = V (I(M)) ([Har77, Kapitel 2]).

In M werden alle Maximalideale zu M addiert, also

M ist im Lieferumfang enthalten, also nicht schrumpfen. Aufgrund der oben genannten Berechnungsregeln gilt dies wie üblich

Zariski-Topologie in Spec(R) (vergleiche [Kun97, Kapitel 3, Satz 1.2]).

Normalerweise heißt unser Spec(R) m-Spec(R). Was ist der Effekt?

Diese Person interessiert sich nur für das Maximalideal, nicht für das Hauptideal in R?

Für den Polynomring k[X1, ..., Xn] über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gilt Folgendes

Klassische Ergebnisse, die eng mit Hilberts Nullsatz zusammenhängen (siehe [Mat89,

Satz 5.3]):

Satz 2.3.6. Sei k = k. Wenn m ⊂ k[X1, . . , Xn] ein maximales Ideal ist, dann ist m =

(X1 − α1, . . , Xn − αn) für α1, . . . , αn ∈ k。

Dies impliziert eine Bijektion zwischen der maximalen idealen Menge und kn. diese Farbe

respondernz kann zwischen Algebra- und Geometrieproblemen wechseln

überspringen Genau das werden wir später verwenden!

Wie diese Korrespondenz für Spec(Sym(t)) aussieht, lässt sich aus Bemerkung 2.3.1 ableiten

Kann man das auch als Polynomring verstehen? Natürlich gibt es hier auch eine Art Bijektion.

Das größte Ideal von kn oder t, aber die schönste Bijektion ist durch t∗ gegeben

vorgeführt. Das heißt, unabhängig von der Wahl der Basis kann man hier arbeiten, weil es still steht

Erforderlich in Beobachtung 2.3.1.

Zur Veranschaulichung der Übereinstimmung wird hier ein gesonderter Nachweis vorgelegt.

Natürlich kann dieser Satz auch als Folge von Satz 2.3.6 angesehen werden.

Vorschlag 2.3.7. Spec(Sym(t)) ∼= t∗ als Bijektion von Mengen.

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

beweisen. Wir konstruieren zunächst eine Abbildung von t∗ auf Spec(Sym(t)): Sei α ∈ t∗ a

k-lineare Karte t→k. Betrachten Sie nun α als algebraischen (unitären) Homomorphismus: Definieren Sie α

Multiplikation über Sym(t) (wobei k ⊂ Sym(t) auf k abgebildet wird). so viel

Einerseits die Faltungserweiterung von Sym(t) und die Einschränkung auf algebraischen Homomorphismus

Andererseits ist es bei t erlaubt, Homk−Alg(Sym(t), k) und Homk(t, k) = t∗ zu identifizieren.

Sie können nun jedes α ∈ t∗ Ihrem Kernel als Element von Homk−Alg(Sym(t), k) zuweisen.

Ein solcher Kernel ist in Sym(t) ideal und real:

Für alle aufeinanderfolgenden α(1) 6 = 0 (auch wenn α = 0, da immer 1 7 → 1!), dann gilt ker(α) (Sym(t)

Es gibt nie eine vollständige Sym(t)-Algebra. Das Bild ist immer k, und da Sym(t)/ker(α) ∼= k

ker(α) ist wirklich der größte. α 7→ ker(α) Wir haben eine Abbildung t∗ → Spec(Sym(t))

gegründet.

Nun zur inversen Abbildung: Nehmen Sie das maximale Ideal m ⊂ Sym(t) und überlegen Sie

Projekt Sym(t) � Sym(t)/m. Es handelt sich um Sym(t)/m ∼= k, denn einerseits ist Sym(t)/m ⊃ k

Eine endliche Körpererweiterung von k (siehe [Eis95, Satz 4.19]), andererseits k = k vor-

ausgesetzt. Wir erhalten eine k lineare Abbildung Sym(t) �� k und sind auf t beschränkt

Die Abbildung in Homk(t, k) bezeichnen wir mit α′.

Tatsächlich sind diese beiden Abbildungen Umkehrungen zueinander: Beginnen wir mit m ∈ Spec(Sym(t)),

Also konstruieren wir zunächst α′ : t → Sym(t)/m = k, das in algebraische umgewandelt werden muss

Homomorphismus Sym(t) � Sym(t)/m, dessen Kern natürlich ist

Mit dem idealen Maximalwert m beginnen wir. Wenn wir andererseits mit α ∈ t∗ beginnen, dann definieren

Zuerst erweitern wir seine Multiplikation auf Sym(t) und erhalten den maximalen idealen ker(α). uns

Form α′ : t→ Sym(t)/ker(α) = k. Weil

Sym(t)α //

A''

Symbol(t)/Ker(s)

17→1

Aber α′ = α als algebraischer Homomorphismus und natürlich α′ = α in t∗. ,

Hinweis 2.3.8. Dieser Beweis zeigt übrigens, wie sich (t*,Sym(t)) in kanonischer Hinsicht verhält

Weise (d. h. unabhängig von der Wahl der Basis) als affine algebraische Varietät

Weil diese Struktur von (Spec(Sym(t)), Sym(t)) geerbt wird.

2.3.2 Ideales maximales mα

Definition 2.3.9 (mα). Die obige Bijektion Spec(Sym(t)) ∼= t∗ ermöglicht die Zuweisung einer ma-

Maximales ideales mα in Sym(t) für Element α von t∗: mα ist der Kern von α als einheitliche Funktion

Algebraische Homomorphismen.

Lemma 2.3.10 (Beschreibung von mα). mα wird aus Elementen der Form t−α(t) erzeugt

fur t ∈ t。

beweisen. Das maximale Ideal m ⊂ k[X1, . . . , Xn] Gemäß der Form von Satz 2.3.6 (X1 −α1, . . . , . . . , Xn} ist nach k festgelegt. Jetzt wird m eher zu {X − α(X) | X ∈ spanking {X1, . . . , Xn} } generiert.

Wenn wir den Isomorphismus Sym(t) ∼= k[X1, . . . , Xn] aus Beobachtung 2.3.1 verwenden

Auf Sym(t) erhalten wir dann α ∈ t∗ und das maximale Ideal {t−α(t) | t ∈ t}, was offensichtlich ist

Der Kern entspricht α, d. h. mα = (t − α(t) | t ∈ t). ,

Eine ideale p-te Potenz wird auf die gleiche Weise definiert wie das Produkt zweier Ideale

Bild.

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Lemma 2.3.11 (Beschreibung von mpα). mpα von

{p‖i=1

(ti − α(ti)) | ti∈t

beweisen. Die Elemente in mpα sind Summen von Termen der Form πpi=1mi, wobei mi ∈ mα.

Um nicht noch hässlicher zu werden, betrachten Sie einfach mi = d (ti−α(ti)), da sogar die Summe

So sehen die Elemente von mα aus (d ∈ Sym(t) kann alles sein). Daher gilt ∠pi=1mi

em Sym(t)·p∠i=1

(ti − α(ti)), mpα de schicksal, wenn es p‖i=1 zurückgibt

(i − α(i)), i ∈ t。 , 1999.

Beachten Sie 2.3.12. Warum gibt es hier so viel Interesse am ultimativen Ideal?

Ist T)? Wir werden den A-Modul kurz betrachten und dann durch die φ-Algebra Sym(t)

Es klappt. Der Modul M kann dann durch Zerlegung des Gewichtsraums M = ⊕α∈t∗ berechnet werden

Schau dir das Pferd an

zurückkehren

Mα = {v ∈ M | t• v = α(t) · v für alle t ∈ t}= {v ∈ M | (t− α(t))• v = 0 für alle t ∈ t}= {v ∈ M | (mα)• v = 0}。

Sobald der Gewichtsraum auf diese Weise geschrieben ist, ist es leicht zu erkennen, wie er verallgemeinert werden kann.

can: Später können wir Module mit verallgemeinerter Gewichtsraumzerlegung betrachten

Zehn, auch M = ⊕α∈t∗

M(a) was

M(α) = {v ∈ M | (mpα)• v = 0}= {v ∈M | ker(α)p• v = 0}。

für die spätere Verwendung (naja, jetzt nicht für die spätere Verwendung).

Idee? ) Hier kommt eine technische Aussage, die derzeit keine Motivation hat.

Motto 2.3.13. Sei γ ∈ t∗. ist p‖i=1

(ti + γ(ti)) ∈ mpα und ti + γ(ti) ∈ ma fur

Alle 1 ≤ i ≤ p.

beweisen. Eine Richtung ist sehr einfach: Wenn p-Faktoren in mα vorliegen, dann ist ihr Produkt in mpα.

Stattdessen kann man mit Hilfe grundlegender Ideale argumentieren: Nach [AM69 ist die Proposition

4.2] Ein Grundideal, dass m1 ∈ mpα aus m1m2 ∈ mpα folgt, andernfalls

mr2 ∈ mpα für ausreichend große Potenz r. Definieren Sie für unsere Zwecke m1 :=

p−1‖i=1

(ti+γ(ti)) e

m2 := (tp + γ(tp)). Aufgrund des Grades kann m1 nicht in mpα sein, da es beides enthält

Der Grad des Polynoms muss mindestens p sein, und m1 hat eindeutig den Grad p − 1. Also mr2 ∈

mpα ⊂ mα, und da das größte Ideal eine Primzahl ist, ist auch m2 ∈ mα eine Primzahl. Das gleiche Argument zieht auch

Für jeden anderen Faktor p‖i=1

(ti + γ(ti))。 ,

In Lemma 2.4.15 wollen wir es so bezeichnen:

Folgerung 2.3.14.p‖i=1

(β(i) + i − α(i)) ∈ mpα aber dass, 然后 β(i) + i − α(i) ∈ mα fur

Alle 1 ≤ i ≤ p.

2.4 O(p) – eine weitere Klasse von Modulen

Wie bereits erwähnt, sind wir an A-grmod interessiert. Insbesondere freuen wir uns

In der Lage sein, mehrere darin enthaltene Module zu beschreiben. Das Ziel ist dummerweise zu hoch angesetzt, aber

Zumindest haben wir das Gefühl, dass es eine Chance gibt, ihre Annihilators in A.O. zumindest auszuprobieren

Eine Vernichtung eines Moduls M wird als zweiseitiges Ideal definiert

AnnA(M) := {a ∈ A | a m = 0 für alle m ∈ M} ⊂ A.

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Wenn unsere Algebra kommutativ ist, erhalten wir jedes Modul L bis zu

Isomorphismus wiederherstellen: L∼= A/AnnA(L)! Für unsere Algebra A ja

Es ist vielleicht nicht austauschbar, die Situation sieht nicht so rosig aus, aber es bleibt gleich

Interessant sind Vernichter, siehe auch Abschnitt 3.1. und der einfachste Vernichter

Module im A-grmod sind beschreibbar! Alles, was Sie brauchen, ist ein praktischer Kleiderschrank.

Tegoria heißt O(p) ⊂ A-grmod, wobei einfache und ihre Vernichter sehr sind

Leichter zu überprüfen, aber am Ende erhalten Sie eine vollständigere Beschreibung

A-grmod Einfacher Mod-Annihilator.

Bemerkung 2.4.1 (Link zur Universal Envelope Algebra).

Diese Annäherung an das ursprüngliche Ideal, nämlich.

1. Die gesamte Modulkategorie auf eine überschaubare Unterkategorie beschränken,

2. Die ursprüngliche ideale Klassifizierung dieser Unterklasse,

3. In der Erkenntnis, dass man damit alle ursprünglichen Ideale beschrieben hat,

wurde im klassischen Fall der Hüllkurvenalgebra getestet. „Praktische Vereinten Nationen

In diesem Fall ist Terkategorie' die BGG-Kategorie O ⊂ U(g)-mod und ihr einfaches Ob-

Der Term L(λ) (Daten werden ausschließlich aus dem Verma-Modul als einfacher Quotient ermittelt

Maximales Gewicht λ ∈ h*), siehe [Hum08]. Dies ist Duflos Theorem [Jan83,

Folgerung 7.4]: {Das ursprüngliche Ideal

Einheit (Gramm)

{Vernichter

L(λ) ∈ O

Definition 2.4.2 (O(p)-Kategorie). O(p) ist definiert als

A-mod, dessen Objekt isomorph zum Quotienten des linken Moduls Sym(t) und ⊕α∈t∗ ist

(Sym(t)/mpα)

sie sind. Der Aufbau des Sym(t)-Moduls wird wie folgt erklärt:

• M ∈ A-mod wird zum linken Modulo Sym(t) durch d•m = φ(d)•m Für d ∈ Sym(t), das heißt

M ∈ Sym(t)-mod kann verstanden werden.

•⊕α∈t∗

(Sym(t)/mpα) wird als linksnormale Multiplikation in Sym(t) betrachtet, d m =

d·m∈⊕α∈t∗

(Sym(t)/mpα)。

Prägnanter ausgedrückt gilt für ein Modul M ∈ O(p): ⊕α∈t∗

(Sym(t)/mpα) � M als Sym(t)-Moduln。

Daher ist M = ⊕

α∈t∗M(α) verallgemeinerte Gewichtsraumzerlegung

M(a) := {m ∈ M | (mpα)•m := φ(mpα)•m = 0} ∼= Quociente de Sym(t)/mpα。

Diese Zerlegung von M wirft die Frage auf, wie sie mit der Klassifizierung von A =⊕α∈t∗ zusammenhängt

Aα

tolerieren.

Motto 2.4.3. Sei M ∈ O(p) ⊂ A-mod. Zerlegung M = ⊕

α∈t∗M(α) entspricht

t*-Modulebene, nämlich Aβ•M(α) ⊂M(α+β).

beweisen. Für a ∈ Aβ muss m ∈ M(α) beweisen, dass a·m ∈ M(α+β) gilt. Mit anderen Worten: Es ist so

a ∈ Aβ , mpα•m = 0, also mpα+β• (a•m) = 0.

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Seip∈i=1

(ti− (α+β)(ti)) Das Generatorziel von mpα+β ist p‖i=1

(ti− (α+β)(ti))•am = 0 Lösungsmittel

weil ppi=1

(ti − α(ti))•m = 0 ist。

ppi=1

(ti − (α+ β)(ti)) •am =

ppi=1

((ti − β(ti))− α(ti)) •am

p−1‖i=1

((ti − β(ti))− α(ti)) • ((tp − β(tp))•am − α(tp)•am)

p−1‖i=1

((ti − β(ti))− α(ti)) • ((tpa− β(tp)a)•m − α(tp)•am)

p−1‖i=1

((ti − β(ti))− α(ti)) • (atp•m − α(tp)•am)

denn ati = tia− [ti, a] = tia− β(ti)a

p−1‖i=1

((i − β(i))− α(i)) · a• (tp − α(tp)) •m

= hmm •

ppi=1

(ti − α(ti)) •m

Nachdem das gleiche Argument p-mal wiederholt wurde

= a·0 = 0 ,

Folgerung 2.4.4. O(p) ⊂ A-grmod ist eine vollständige Unterklasse über M 7→⊕α∈t∗

elektromagnetisch).

beweisen. Wir wissen bereits, wie man Objekte in O(p) wie Objekte in A-grmod verarbeitet

er kann. Bisher ist dies jedoch nur aus den Morphismen von HomO(p)(M,N) := HomA-mod(M,N) ⊃HomA-grmod(M,N) klar. Zeige: HomA-mod(M,N) = HomA-grmod(M,N) Für M,N ∈ O(p), zeige

em insbesondere f(M(α)) ⊂ N(α) Werte:

Betrachten Sie dazu noch einmal die Struktur der linken Sym(t)-Module in M und N, also

mpα• f(m) = φ(mpα)(f(m)) = f(φ(mpα)m) = f(0) = 0

Für alle m ∈ M(α), wie gewünscht. ,

Bemerkung 2.4.5 (t*-Skala für O(p)). muss einen Abschluss machen

Seien Sie vorsichtig mit O(p)-Modulen, denn für einige haben Sie zwei interessante Noten

Modul M ∈ O(p): Einerseits sind alle Objekte in O(p) Modulo A, und

Der Quotient von A kann den Rang t∗ von A und den resultierenden Rang erben

Gene werden mit M = ⊕Mα annotiert. Andererseits haben wir gerade den t*-Rang bestanden

Führen Sie einen allgemeinen Gewichtsraum ein. Es wird immer mit M = ⊕M(α) bezeichnet.

Bemerkung 2.4.6 (Eigenschaften von O(p)). Wir können auch O(p) sagen

hat die folgenden Eigenschaften:

• O(p) ist im Quotienten abgeschlossen, weil M ∈ O(p) im M/U-Quotienten erbt

surjektiv ⊕α∈t∗

(Sym(t)/mpα) �M�M/U。

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

• Allerdings ist O(p) unter direkten Summen nicht abgeschlossen, da bei ⊕α∈t∗

(Sym(t)/mpα)

Vielfache erscheinen nicht im Summanden, daher gibt es keine Garantie

Die Summe zweier Module M,N ∈ O(p) ist immer der Quotient von ⊕α∈t∗

(Sym(t)/mpα) ist。

Kehren wir zum klassischen Beispiel zurück:

Bemerkung 2.4.7 (Link zur Universal Envelope Algebra).

Wie oben erwähnt, übernimmt die O(p)-Klasse von [MVdB98] die Rolle von BGG

Klasse O, wenn jemand eine Behauptung ähnlich dem Satz von Duflo beweisen möchte. wie groß

Die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen O(p) und O?

• O ist eine abelsche Kategorie [Hum08, Satz 1.1], aber O(p) wird nicht direkt beeinflusst

Der Buzz ist fertig.

• Der Modul von O hat eine räumliche Gewichtszerlegung h∗ M = ⊕

λ∈h∗Mλ [Hum08, Kapitel

1.1] com

Mλ = {v ∈ M | (h− λ(h))• v = 0}= {v ∈M | ker(λ)• v = 0},

wobei λ ∈ h* zu einem algebraischen Homomorphismus erweitert wurde, sodass ker(λ) ⊂Sym(h) = U(h) gilt. Andererseits O(p)-Module mit verallgemeinerten t*-Gewichten

Räumliche Zerlegung M = ⊕

α∈t∗M(α) mit

M(α) = {v ∈ M | (mpα)• v = 0}= {v ∈M | ker(α)p• v = 0}。

Somit ist die O(p)-Klasse der verdickten O-Klasse p ähnlicher als der O-BGG-Klasse (siehe [MS05, Kapitel 3.1] für die Definition der verdickten Klasse).

Klasse O). Für p = 1 gehören jedoch die verdickten und normalen Kategorien O dazu

Zusammen. In Abschnitt 2.4.2 werden wir sehen, dass O(p) einfache Module sind

existiert bereits in O(1).

2.4.1 Der Modul von O(p) und seinen Trägern in t∗

Definition 2.4.8 (Träger von Modulen). Sei M = ⊕α∈t∗

Mα ∈ A-grmod a模

mit jedem Abschluss. Stellen Sie den Modulträger auf

SuppM := {α ∈ t∗ |ma6=0}.

引理 2.4.9。 Sei M ∈ O(p) mit der Graduierung M =⊕M(α), dann gilt SuppM ⊂ V (kerφ)

(Ersteres ist eine Teilmenge von t∗, letzteres ist eine Teilmenge von Spec(Sym(t)), die in dieser Anweisung verwendet wird

Die beiden Identitätssätze von Proposition 2.3.7).

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Gerichtsverhandlung.

SuppM = {α ∈ t∗ | M(α) 6= 0}= {α ∈ t∗ | (mpα)•m = 0 für ein m ∈M,m 6= 0}↔ {mα ∈ Spec(Sym(t)) | (mpα)•m = 0 für ein m ∈M,m 6= 0}= {mα ∈ Spec(Sym(t)) | (mα)•m′ = 0 für ein m′ ∈ M,m′ 6= 0}= {mα ∈ Spec(Sym(t)) | φ(mα)•m′ = 0 für ein m′ ∈ M,m′ 6= 0}= {mα ∈ Spec(Sym(t)) | φ(ma)•m′ = 0 für ein m′ ∈M,m′ 6= 0 und kerφ ⊂ ma}

(Leere Zusatzbedingungen, siehe unten)

⊂ {mα ∈ Spec(Sym(t)) | kerφ ⊂ mα}= V (kerφ),

Denn kerφ ⊂ mα ist hier eigentlich eine Nullbedingung: Wenn es ein mα und ker(φ) * mα gibt, dann

muss mα + ker(φ) = Sym(t) sein, sonst führt die Vereinigung zu einer wirklich größeren Vereinigung

Idealer Aufbau. Dann ist 1 = x+ y ∈ Sym(t) mit x ∈ mα und y ∈ ker(φ), und

0 6= 1·m′ = φ(1)·m′ = φ(x)·m′ + φ(y)·m′ = 0 + 0 = 0,

Widerspruch. ,

Wir sagen: Module in O(p) haben höchstens ihre Vektoren in V(kerφ). aber dann

In diesem Abschnitt werden wir sehen, wie man einen Modul für jedes α ∈ V (kerφ) in O(p) schreibt.

Und α erscheint auch in seinem Vektor. in Ordnung

Der Träger des Moduls O(p) ist nicht mehr genau t∗, sondern nur noch V (ker(φ)) -

Aber weniger ist nicht genug.

2.4.2 Einfach und projektiv in O(p)

Definition 2.4.10 (M(p)(α) und L(α)). Sei α ∈ V(kerϕ) ⊂ t∗. wir definieren oder folgen

Module im A-grmod:

• M (p)(α) := A/Ampα

• L(α) := eindeutig deterministischer einfacher Quotient von M (p)(α), siehe Satz

2.4.19。

Hier bedeutet Ampα := A · φ(mpα), dass das linke Ideal in A aus dem Bild von mpα unter φ abgeleitet wird

ist erzeugt.

Hinweis 2.4.11. Nach einigen vorläufigen technischen Beobachtungen sehen wir in Beobachtungen

2.4.14 M(p)(α) ∈ O(p)。

Hinweis 2.4.12. Wie bereits gesagt: Sie können die Definition auch schreiben

Für andere α in t* erscheinen sie jedoch nach Lemma 2.4.9 nie im Vektor der Moduli

O(p) offen.

Wenn wir als nächstes M(p)(α) berechnen wollen, brauchen wir etwas sehr trockenes

Aussagen, die vorerst ignoriert werden können:

Lemma 2.4.13 (Stamm-Lemma). Hier sind einige gesammelte Fakten über A

e M(p)(a):

i) Das bilaterale Ideal I in A erbt den Gradienten von A über Iα := I ∩Aα (mit anderen

Mit anderen Worten: Ich bin ein homogenes Ideal).

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

ii) φ(mpα) ⊂ A0 (im Allgemeinen gilt φ(Sym(t)) ⊂ A0).

iii) A/Ampα =⊕β∈t∗

Aβ/Aβmpα。

iv) Für Skalen in eckigen Klammern gilt:

(A/Verstärker)(c) =

( ⊕β∈t∗

Aβ/Aβmpα

(C)

=⊕β∈t∗

(Aβ/Aβmpα)(c)。

v) Für Bewertungen ohne eckige Klammern gilt:

(A/ampa)γ =

( ⊕β∈t∗

Aβ/Aβmpα

=⊕β∈t∗

(Aβ/Aβmpα)γ = Aγ/Aγm

pα。

vi) Für eine Invariante unter der Wirkung eines Unterraums g ⊂ t gilt: Ag = ⊕β∈t∗

Silber Beta

vii) Fur u zentral in A golden A/A(u) =⊕β∈t∗

Aβ/Aβ(u)。

viii) Setze γ und β für t∗. es gilt

mγAβ = Aβmγ−β 。

Alle diese Aussagen sind ziemlich offensichtlich, werden aber der Vollständigkeit halber hier aufgeführt.

Beweisen Sie noch einmal.

Gerichtsverhandlung.

i) Mit Iα := I ∩ Aα ist I =⊕

α Iα: Wie jedes Element von A kann a ∈ I eindeutig sein

Schreiben Sie a = ∑β aβ und aβ ∈ Aβ . Diese aβ sind wieder in I enthalten: Ein zwei-

Das Transversalideal ist unter der adjungierten Wirkung t geschlossen, kann also nicht sein

Lassen Sie es funktionieren und wenden Sie den Diagonalparameter [t, a] = ∑ an

[t, aβ] =∑β(t)aβ ∈ I,

Das Subtrahieren von γ(t)a subtrahiert 1 von der Summe, aber das Ergebnis a′ ist

Wieder in I. Fahren Sie fort, bis nur noch ein Summand a′′β ∈ I übrig bleibt.

Ändern Sie also einfach die Größe, um aβ ∈ I zu sehen.

ii) φ(mpα) ⊂ φ(Sym(t)) ⊂ A0, weil [φ(t), φ(d)] = φ([t, d]) = φ(0) = 0 · φ(d) fur t ∈ t und

φ(d) ∈ φ(mpα) gilt, wie in Anmerkung 2.1.9 beschrieben.

iii) Weil ϕ(mpα) ⊂ A0, Aβmpα ⊂ Aβ , also Aβ/Aβm

pα Bedeutung. Projektzusammenfassung jetzt -

Weg:

��⊕β∈t∗

Aβ/Aβmpα，

Der Kernel ist par⊕β∈t∗

Aβmpα = Ampα。

iv) Wir wollen die Graduierung zwischen eckigen Klammern vornehmen

(A/Verstärker)(c) =

⊕β∈t∗

Aβ/Aβmpα

(C)

=⊕β∈t∗

(Aβ/Aβmpα)(c)

Ausstellungsstück. Auf Teil (iii) folgt die erste Gleichung. enthält ⊕β∈t∗

Aβ/Aβmpα

(C)

⊃⊕β∈t∗

(Aβ/Aβmpα)(c)

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Da aus mpγ·a = 0 und mpγ·a′ = 0 folgt, folgt eindeutig, dass mpγ·(a + a′) = 0 für a ∈

(Aβ/Aβmpα)(c) e a′ ∈ (Aβ′/Aβ′m

pa)(c) Tal. eine zusätzliche Inklusion ⊕

β∈t∗Aβ/Aβm

pα

(C)

⊂⊕β∈t∗

(Aβ/Aβmpα)(c)

Aus der linearen Unabhängigkeit von a und a′ oben (dies

Dieses Argument gilt auch für jede Summe von Elementen aus verschiedenen

Aβ/Aβmpα) Daher ist es möglich, die Koeffizienten von mpγ• (a+ a′) = 0 zu vergleichen

Wir kommen zu dem Schluss, dass mpγ·a = 0 und mpγ·a′ = 0 (dazu gehört auch die Multiplikation).

mit dem mpγ-Kation von Aβ/Aβmpα, da mpγ in A0 vorhanden ist).

v) Die gleichen Argumente wie in Teil (iv) gelten für Graduierungen ohne eckige Klammern (außer

Der hier untersuchte Helfer-t-Effekt ist auf jedes Aβ/Aβmpα beschränkt

Es sei angenommen, dass die dritte Gleichung gilt, weil Aβ/Aβmpα mit dem begleitenden Effekt t zusammenhängt

Die Gewichte β sind – also waren alle Summen außer Aγ/Aγmpα früher Null.

vi) Ag =⊕β∈t∗

Agβ: Funktioniert wieder genauso: Einschlüsse ⊃ klar und Einschlüsse

⊂ weil aus [g, a+ a′] = 0 folgt, dass [g, a] = 0 und [g, a′] = 0 für a und

a' gilt (a und a' werden wie oben gewählt; das Argument kann auf jedes beliebige und erweitert werden

Erweiterung), da Aβ linear unabhängig voneinander und abgeschlossen sind

Hilfs-t-Effekt, also auch unterinduzierter g-Effekt.

vii) A/A(u) =⊕β∈t∗

Aβ/Aβ(u): Für A(u) haben wir es mit einem zweiseitigen Ideal in A zu tun

Tun Sie es, weil Sie im Mittelpunkt stehen. Bis zum Punkt (i) ist A(u) homogen. Gleichzeitig ist u ∈ A0 (wieder

Aufgrund der Zentralität von u gilt (A(u))β = Aβ ∩ A(u) = Aβ(u). zu guter Letzt

Golden

A/A(u) =⊕β∈t∗

(A/A(u))β =⊕β∈t∗

Aβ/(A(u))β =⊕β∈t∗

Aβ/Aβ(u)。

viii) Nach (A2) sei aβ der Generator von Aβ, d. h. Sym(t)aβ = Aβ. Nach Lemma 2.3.10 werden für t ∈ t Elemente d ∈ mγ durch Elemente der Form t − γ(t) erzeugt, z

Golden

(t− γ(t))aβ = [t, aβ ] + aβt− γ(t)aβ

= β(t)aβ + aβt− γ(t)aβ

= (β − γ)(t)aβ + aβt

= aβ(t− (γ − β)(t)),

Und t− (γ − β)(t) ist eindeutig in mγ−β, wobei

Sym(t)(t− γ(t)) ·Aβ ⊂ Sym(t)Aβmγ−β = Aβmγ−β

mit ihm

mγAβ ⊂ Aβmγ−β. Andererseits kann diese Berechnung auch von hinten bremsen und zeigen

ein anderer enthält

Aβmγ−β ⊂ mγAβ

durchgehen

Aβ · Sym(t)(t− (γ − β)(t)) ⊂ mγAβSym(t) ⊂ mγAβ

(Man muss etwas vorsichtig sein, wenn man Sym(t) durch aβ ersetzt, aber die erforderliche Einbeziehung wird funktionieren.) ,

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Hinweis 2.4.14. M(p)(α) ist in O(p) enthalten:

• Die Struktur des linken Moduls A wird durch die übliche linke Multiplikation in A erklärt

• Die Modulstruktur Sym(t) ist gegeben durch φ: Sym(t) → A durch d•m = φ(d)•m =

φ(d)·m

• Der Modul Sym(t) des Quotienten von ⊕ ist isomorph

α∈t∗(Sym(t)/mpα) ist ge-

Aber por⊕α+β∈t∗

(Sym(t)/mpα+β) ⊕β∈t∗

Aβ/mpα+βAβ =

⊕β∈t∗

Aβ/Aβmpα = A/Ampα,

wobei die Betrachtung von (A2) das erste Surjektiv ergibt, nach dem alle Ge

Der Gewichtsraum Aβ ist der Quotient von Sym(t) (beachten Sie den Indextrick: Wir verwenden

Surjektives S(t) � Aβ in Summe dividiert durch mpα+β). zweite

Die Gleichung vem für mγAβ = Aβmγ−β folgt Lemma 2.4.13.viii.

Lemma 2.4.15 (Gewichtsraum von M (p)(α)). Seien α, γ ∈ V (kerϕ).

i) Es ist M (p)(α)(γ) = (A/Ampα)(γ) = Aγ−α/Aγ−αmpα.

ii) Es gilt insbesondere M (p)(α)(α) = (A/Ampα)(α) = A0/A0mpα。

iii) Es folgt damit auch M (p)(α)(γ) = (A/Ampα)γ−α = M (p)(α)γ−α。

Beachten Sie das Verhältnis des letzten Punktes mit und ohne eckige Klammern am Ende

Absolvent Merten hat aufgeklärt!

Gerichtsverhandlung.

i) Es gilt, dass (M (p)(a))(c) = Aγ−α/Aγ−αmpα ist：

sehr bekannt

M (p)(a)(c) = (A/Ampα)(c) =

⊕β∈t∗

Aβ/Aβmpα

(C)

=⊕β∈t∗

(Aβ/Aβmpα)(c)

(unter Verwendung von Lemma 2.4.13, Teile (iii) und (iv)), dann muss es zeigen

Genau für β = γ − α ist der Gewichtsraum (Aβ/Aβmpα)(γ) ungleich Null.

Zu diesem Zweck etwas umformuliert:

(Aβ/Aβmpα)(c) = {a | mpγ·a = 0} = {a | mpγ·a ⊂ Aβ·mpα}。

Überlegen Sie, für welches β-Produkt p‖i=1 ist

(ti − γ(ti)) a in Aβmpα, für a ∈ Aβ und

Erzeugerpπi=1

(ti − γ(ti)) Dann ist mpγ ⊂ Sym(t), wobei ti ∈ t.

Sie berechnen

ppi=1

(ti − γ(ti)) · a =

p−1‖i=1

(ti − γ(ti))([tp, a] + a · tp − γ(tp))a

p−1‖i=1

(ti − α(ti)) · a(β(tp) + tp − γ(tp))

= a · ppi i = 1

(β(ti) + ti − γ(ti))。

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

ppi=1

(β(ti) + ti − γ(ti)) sollte nun in mpα sein, d. h. β(ti) + ti − γ(ti) ∈ mα, wie teilweise

Zum maximalen idealen mα in Korollar 2.3.14.

Dies ist dasselbe wie α(β(ti) + ti − γ(ti)) = 0, d. h. β(ti) = γ(ti) − α(ti) für alle

ti∈t。

ii) gefolgt von γ := α.

iii) Nach Lemma 2.4.13 folgt Teil (iii) aus der ersten Aussage:

M (p)(a)(c) = Aγ−α/Aγ−αμα

= (A/Ampα)γ−α

= M (p)(α)γ−α。 ,

Folgerung 2.4.16. M (p)(α) ergibt sich durch A, relativ zur Klassifizierung in eckigen Klammern, in Grad α

Tun

beweisen. M (p)(α) = A/Ampα von 1 von A0/A0mpα, also relativ zum unbestrittenen Grad 0

Merten macht seinen Abschluss. Aber das haben wir gerade in Lemma 2.4.15 des Gewichtsraums gesehen

dass M (p)(α)(α) = M (p)(α)α−α = M (p)(α)0 ist.

1 hat den Grad α. ,

Der folgende Satz entspricht [MVdB98, Satz 3.1.7] und beweist dies

Titel dieses Abschnitts (M(p)(α) wird in O(p) projiziert) und die Definition von L(α)

(der einzige deterministische einfache Kernel von M (p)(α)).

Satz 2.4.17 (M(p)(α) ist projektiv in O(p)). Ich kenne die V-Form (Schnitt).

i) M ∈ O(p) ⇒ HomA-mod(M (p)(α),M) = M(α)

ii) M(p)(α) ist ein projektives Objekt in O(p)

Gerichtsverhandlung.

i) M ∈ O(p) ⇒ HomA-mod(M (p)(α),M) = M(α)：

M (p)(α) = A/Ampα = A 1, also ist f ∈ HomA-mod(M (p)(α),M) fertig

Bestimmt durch f(1). Daher können HomA-mod(M (p)(α),M) und {f(1) ∈ M | f ∈ HomA(M (p)(α),M)} als A-Modul verwendet werden. Nun sind genau 1 Bilder m ∈ Mals f(1) erlaubt, wobei mpα•m = 0. so ist es

HomA-mod(M (p)(α),M) = {f(1) ∈M | f ∈ HomA(M (p)(α),M)}= {m ∈ M | mpα·m = 0},

Nach Definition eines Moduls in O(p) ist dies genau M(α).

ii) M (p)(α) ist projektiv in O(p):

Zunächst stellen wir fest, dass ein Homomorphismus in O(p) der übliche Homomorphismus ist

ist A-mod surjektiv (zwischen Objekten in O(p)). genug

Das zeigt an

HomA(M(p)(α), N)HomA(M(p)(α),f)-------------------------→ HomA(M(p)(α), N')

Nf� N ′ → 0 ist surjektiv, dann ist es surjektiv. aber jetzt ist es soweit

HomA(M(p)(α), N)HomA(M(p)(α),f)-------------------------→ HomA(M(p)(α), N')

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

nur

N(a) → N ′(a),

Diese Abbildung ist surjektiv, da der Gewichtsraum exakt ist (alle Vorkommen).

Tendenzmorphismen sind t*-bewertet). ,

Bemerkung 2.4.18 (Link zur allgemeinen Hüllkurvenalgebra).

Dieses Modul M(p)(α) spielt die Rolle des Verma-Moduls M(λ) der Kategorie O. als M(λ)

Erzeugt durch U(g) aus dem maximalen Gewichtsvektor mit dem Gewicht λ, wird auch M (p)(α) =

A/Ampα A in Grad (α) (siehe Folgerung 2.4.16). Erst jetzt haben wir den Vorschlag

2.4.17.i Sehen Sie, dass M(p)(α) projektiv ist. Diese Aussage ist nicht so allgemein

Für das Verma-Modul müssen wir hier annehmen, dass λ ist

Erhalten Sie die Projektion von M(λ) ([Jan83, Lemma 4.8] oder [Hum08, Proposition 3.8]). um

Allerdings kann die Direktive 2.4.17.ii auch auf das Verma-Modul für Dominanzgewichte übertragen werden,

Die Identifikation von HomU(g)(M(λ),M) mit Mλ (für M ∈ Oλ) findet sich im Beweis

[Januar 83, Lema 4.8].

Satz 2.4.19 (Einzelquotient L(α) von M(p)(α)).

i) M (p)(α) hat genau einen einzigen Quotienten unabhängig von p =: L(α) ∈ O(1).

ii) Alle einfachen Module in O(p) haben die Form L(α)

iii) dimkM(1)(a)(b) ≤ 1, also für alle β ∈ V (kerφ) dimkL(a)(b) ≤ 1

iv) Ist L(α)(β) 6= 0, dann ist L(α)(β)∼= Aβ−α/Aβ−α

v) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• L(α1) ∼= L(α2)

• Ergänzung L(α1) ∩ Ergänzung L(α2) 6= ∅

• M (p)(α1) ∼= M (p)(α2)

Gerichtsverhandlung.

i) M (p)(α) hat genau einen einzigen Quotienten unabhängig von p =: L(α) ∈ O(1):

Beweisen Sie äquivalent, dass es genau ein maximales echtes Submodul gibt –

Besteht aus der Summe aller reellen Submodule. Aus dieser Summe muss hervorgehen

Dies ist wieder ein echtes Submodul.

M (p)(α) wird durch 1 auf A erzeugt, also ist U ⊂ M (p)(α) ein Sub

modulo se 1/∈ U. 1 existiert im Gewichtsraum M(p)(α)(α), d.h. U ist genau

Wenn dann U(α) = U ∩M (p)(α)(α) nicht 1 enthält, dann ein geeigneter Untermodul, d. h. if

U(α) ist ein echter Untermodul A0 von M (p)(α)(α) = A0/A0mpα. Allerdings A0/A0m

wie pα

Sym(t) Modulo-Quotient von Sym(t)/mpα. Sym(t)/mpα ist das lokale maximale Ideal mα (das maximale Ideal Sym(t)/mpα in Sym(t) enthält genau diese

Enthält MPα. Maximalideale (normalerweise Primideale) enthalten die Kraft

Ein weiterer idealer Tenz und ein Ideal selbst. Daher ist mα das einzige Maximum

Idealerweise in Sym(t)/mpα und einem beliebigen Quotienten davon). Sym(t)-Quotientendiagramm

Sym(t)/mpα � A0/A0mpα

ist ein Ringhomomorphismus von A0 = φ(Sym(t)) 1, also ist A0/A0mpα auch lokal

Ring. Es gibt hier also nur ein Maximalideal, bzw. nur eines

Maximaler A0-Modul. Darin ist auch U(α) für jedes wahre Untermodul U enthalten,

Darum steht auch die Summe aller Submodule drin, insbesondere 1 nicht drin

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Enthalten. Daher konstruieren wir den eindeutig größten Submodul von M (p)(α),

Somit erhalten wir seinen eindeutigen Einzelquotienten L(p)(α). unabhängig

p ergibt sich aus der Verkettung von Projektionen

M (p)(a) � M (1)(a) � L(1)(a)

Es wurde gezeigt, dass M(p)(α) eindeutig bestimmt ist

Es gibt einen einzelnen Quotienten L(p)(α), also können wir L(p)(α) = L(1)(α) verwenden

Bezeichnen Sie einen einzelnen Kopf korrekt mit L(α).

ii) Alle einfachen Module in O(p) haben die Form L(α):

Es ist einfach, L ∈ O(p) anzunehmen. Da L ungleich Null sein muss, gibt es einen Gewichtsraum L(α) 6= 0.

Da L(α) = HomA(M(p)(α), L), ist die M(p)(α)-Oberfläche unserem L zugeordnet. M(p)(α)

Aber es gibt nur einen einzigen Quotienten L(α). Also L(α) ∼= L.

iii) dimkM(1)(a)(b) ≤ 1, also für alle β ∈ V (kerφ), dimkL(a)(b) ≤ 1:

Letzteres leitet sich aus Ersterem ab, da L(α) der Quotient von M(1)(α) ist. dimkM(1)(α)(β) ≤ 1

ist gültig, weil, wie wir gerade gezeigt haben, (M (1)(α))(β) = Aβ−α/Aβ−αmα e

k ∼= (Sym(t)/mβ) � Aβ−α/Aβ−α

= (M(1)(a))(b)。

iv) Ist L(a)(b) 6= 0,则 Ist L(a)(b)∼= Aβ−α/Aβ−α：

L(α) ist der Quotient von M (1)(α) in O(p) ⊂ A-grmod, und weil M (1)(α) � L(α) gra-

bleibt erhalten und das Supershooting ist auf M (1)(α)(β) � L(α)(β) beschränkt. Größe

Aus diesem Grund haben wir dies für die vorherige Aussage (iii) gerade überprüft

Beide Gewichtsräume haben die gleiche Dimension – dies muss ein k-linearer Isomorphismus sein

gewesen sein Tambémé Aβ−α/Aβ−αma ∼= M (1)(α)(β)∼= L(α)(β).

v) Berechnen Sie die folgenden zwei Äquivalente:

• L(α1) ∼= L(α2) ⇔ M (p)(α1) ∼= M (p)(α2)：

Diese Äquivalenz ergibt sich aus der Tatsache, dass M(p)(α) in O(p) eine projektive Überdeckung von L(α) hat.

Ja: M (p)(α) gilt gemäß 2.4.17.ii als projektiv. Einschränkungen der Projektion

Allerdings ist in jedem geeigneten Untermodul U ⊂M (p)(α), M (p)(α) � L(α) Null,

Weil U im eindeutig bestimmten größten Untermodul von M(p)(α) enthalten ist.

muss sein, also ist M (p)(α) die projektive Abdeckung von L(α). Wenn nun L(α1) ∼= L(α2),

Dann sind sowohl M (p)(α1) als auch M (p)(α2) projektive Abdeckungen, sagen wir:

L (α1). Die projektive Abdeckung ist jedoch immer ein eindeutig bestimmter Isomorphismus

(und damit O(p) wie in [AF92, Lemma 17.17] unterstützen), d. h. daraus schließen

Knoten M (p)(α1) ∼= M (p)(α2). Stattdessen folgt aus M (p)(α1) ∼= M (p)(α2)

Wir projizieren M(p)(α1) auf L(α1) und L(α2). Unter Teil (i) können Sie

Dies geschieht jedoch nur, wenn L(α1) ∼= L(α2).

• L(α1) ∼= L(α2) ⇔ Supp L(α1) ∩ Supp L(α2) 6= ∅: Die Ausführung ist offensichtlich trivial und die Rückkehrrichtung ist leicht zu ermitteln:

Sei α das Gewicht am Schnittpunkt der beiden Vektoren. Nach Proposition 2.4.17.i haben wir

Dann sind die Abbildungen M (p)(α)→L(α1) und M (p)(α)→L(α2) nicht Null

Muss also immer noch surjektiv sein, da L(α1) und L(α2) injektiv sind. beide sind

Daher der Quotient von M(p)(α), aber sein Quotient ist Teil (i) des Satzes

Bestimmt eindeutig den Isomorphismus. Daraus folgt, dass L(α1) ∼= L(α2). ,

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Bemerkung 2.4.20 (Bezug auf die allgemeine Algebra).

Da der Modul M(p)(α) den Verma-Modul M(λ) simuliert, entspricht sein einzelner Quotient

L(α) ∈ O(p) einfacher Quotient L(λ) ∈ O: hier besteht eine wesentliche Ähnlichkeit,

Weil es auch für L(λ) funktioniert:

• M(λ) hat genau einen einfachen Quotienten von L(λ) (siehe [Hum08, Satz 1.2 (f)]).

• Jeder einfache Modul in O ist isomorph zu einem L(λ) (siehe [Hum08, Satz 1.3]).

Aber es gibt immer noch einen Unterschied:

• Für L(α) ∈ O(p) (0

oder 1) so etwas wie L(λ) ∈ O (hier notwendig, auch für endlichdimensionale

L(λ)-Zeichenformel [Hum78, Kapitel 24]).

• Aus dem Vergleich der Träger von L(λ) und L(µ) können nur wenige Schlussfolgerungen gezogen werden.

Entscheiden Sie sich nur für λ = µ, wenn L(λ) ∼= L(µ) gilt (siehe [Hum08,

Satz 1.3]).

Hinweis 2.4.21. Wenn Sie nun einfache Module in O(p) beschreiben möchten, können Sie dies tun

Reduzieren Sie dieses Problem mit dem letzten Satz:

i) Uns interessieren natürlich nur einfache Module bis zum Isomorphismus. zurück

Satz 2.4.19.ii genügt, ein einfacher Quotient L(α)

M(p)(α), da es sich um die vollständige Liste der isomorphen Klassen von handelt

Liefermodul.

Die folgenden zwei Eigenschaften von L(α) legen nahe, dass wir auf ihre Träger achten sollten

Er muss:

ii) In Proposition 2.4.19.v sehen wir, dass zwei einfache Module bereits isomorph sind

Solange sie das gleiche Gewicht haben!

iii) Aufgrund der Eindimensionalität des Gewichtsraums ist die Spezifikation für das Auftreten von Gewichten

Zehntens eine recht interessante Beschreibung des Moduls selbst. das steht im Titel

2.4.19.v ist zu sehen.

Abschließend können wir unsere Suche nach Gewichten eingrenzen:

iv) Nach Lemma 2.4.9 liegen alle Gewichte von L(α) in V(kerφ) ⊂ t∗.

2.4.3 Zwei Verhältnisse zwischen Modulgewichten in O(p)

Nach den vorherigen Beobachtungen ist es offensichtlich, dass wir das Komponentengewicht von L(α) gewählt haben

Interesse. Wir stellen nun zwei Werkzeuge zur Verfügung, um die Charakterisierung von L(α)-Vektoren zu erleichtern

Definieren Sie zunächst die folgende Äquivalenzbeziehung über Gewichte

In (kerφ) Dampf:

Definition 2.4.22 (Äquivalenzrelation in V (kerφ) ⊂ t∗). Sei dann α, β ∈ V (kerφ).

fahren nach

L(α) ∼= L(β) (bzw. β ∈ Supp L(α))

Äquivalenzbeziehung

a～b

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

L(α) ist der Quotient von M(1)(α), und nach Proposition 2.4.19.iii sind alle Ge-

Gewichte im eindimensionalen Raum. Der Träger von L(α) kann auch beschrieben werden als

Der von M(1)(α) getragene „Schnitt“. Dazu müssen Sie zunächst die auswählen

Der eindeutig bestimmte größte Submodul von M(1)(α). implementieren

Finden Sie dies heraus, indem Sie fragen, wie groß das Produkt A der einzelnen Gewichtsbereiche ist

M(1)(α)(β) wandelt sich in M(1)(α) um. Darüber hinaus kann die Zerlegung A = ⊕Aγ verwendet werden und

Bestimmen Sie das Produkt jedes einzelnen Aγ. Dies motiviert die nächste Definition:

Definition 2.4.23 (die Beziehung in V (kerφ) ⊂ t*). Sei α, β, γ ∈ V (kerφ), dann schreibe

Tsai

Aγ−β·(M (1)(a)

)(b)6= 0

Das ist.

Hinweis 2.4.24. Wie bereits in Proposition 2.4.19 erwähnt, der Gewichtsraum

M(1)(α) ist höchstens eindimensional, da wir das aus Lemma 2.4.3 wissen

M (1)(α) =⊕M (1)(α)(β) ist ein t∗-gestufter Modul, einer kann β sein;

αγ verwendet auch

Anforderung ist

Aγ−β·(M (1)(a)(b)

)=(M(1)(a)

(C)

Per Definition muss es so sein.

Anmerkung 2.4.25 (Beschreibende Anmerkungen; α

). Was machen also Verwandte?

Gemeinsam

？ γ Dann Aγ−β (M (1)(a)(b)

) von Null verschieden ist, los geht's

Mit anderen Worten, welche Gewichtsräume des Gewichtsraums β durchlaufen den Effekt A

ist erreichbar. Nach Lemma 2.4.3 kann dies, wenn überhaupt, nur durch Aγ−β verursacht werden

werden. Somit kann die Beschreibung eines Submoduls in M(1)(α) sein

Der Informationsverlust muss in Ihrer Benutzerbeschreibung aufgeführt werden. Das

Besonders beim Aufbau des größten Submoduls ist es also einfach

Der Gewinnquotient L(α). Wir haben gute Gründe, den Fall p = 1 zu wählen.

begrenzt. Schließlich zeigt Proposition 2.4.19.i, dass L(α) nicht von p abhängt.

Gleichzeitig ist bekannt, dass für p = 1 jeder Gewichtsraum von M(1)(α) höchstens eindimensional ist

Ja, das Bild ist also sehr einfach.

Hinweis 2.4.26. Es gilt:

i) ∼ ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation.

ii) ähm

ist reflexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch: Die Reflexivität ist offensichtlich, weil A0

die 1 enthält, folgt die Transitivität Bemerkung 2.4.24. wir werden später sehen

Am Beispiel der Weyl-Algebra aus 5.5; α

Es muss nicht symmetrisch sein.

Nachfolgend einige grundlegende Konzepte zum Verhalten von ∼ und ;α

, Tod [MVdB98, Lemma 3.1.8]

und [MVdB98, Lema 3.1.9] entnommen aus:

Lemma 2.4.27 (das Verhalten von ~). Wenn M ∈ O(p), dann ist sein Träger Supp (M) die Vereinigung

Äquivalenzklassen zu ~.

Beweis. istM(α)6=0, wenn α ∈ Supp(M). Nach Satz 2.4.17 istM(α) = HomA(M(p)(α),M),

Es existiert also ein Homomorphismus ungleich Null f : M (p)(α) → M. damit kommt

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

Oder der einfache Kern L(α) von M(p)(α) als Subquotient (até oder Isomorphismus) von M. Jedes L(β)

wobei β ∼ α isomorph zu L(α) ist. Aufgrund der Projektivität von M(p)(β) erhalten wir

L(b)∼= // L(a)

M(p)(b)

Woo, woo, woo

∃ // M(p)(a)

Woo, woo, woo

Allerdings (für U = f(maximaler Submodul von M (p)(α)))

L(b)∼= // L(a)

f 6=0 // m/u

M(p)(b)

Woo, woo, woo

∃ // M(p)(a)

Woo, woo, woo

f// M。

Woo, woo, woo

Aufgrund der kommutativen Natur dieses Graphen können wir ganz einfach von M (p)(β) nach M gehen

Foto. Auch nach dem Argument von Proposition 2.4.17 folgt, dass M(β) 6 = 0. dann ist da

Auch jedes β der Äquivalenzklasse von α in M Trägern. ,

Lemma 2.4.28 (Verhalten; α

). Seien α, β, γ, δ ∈ V (ker(φ))。

ich allein

ist eine transitive Beziehung auf V(kerφ).

ii) β ;αγ 龃含 β, γ ∈ SuppM (1)(a) sowie γ − β ∈ SuppA.

iii) β ;αγ gilt genau dann, wenn Aγ−βAβ−α * Aγ−αμα ist。

iv) Submodule von {M(1)(α)

}1:1←→

{wimmern;

α-geschlossene Teilmenge von SuppM (1)(α)

}U 7→ Ergänzung U

v) b, Alter e c;

αβ gilt genau dann, wenn β ∼ γ und β, γ ∈ SuppM (1)(a).

vi) β ∼ γ 值 se e somete se Aβ−γAγ−β * mβA0。

Beweis. A);

ist eine transitive Beziehung auf V (kerφ):

Zu zeigen: b ;ag ;

αδ, dann gibt es β;

αδ. Nach den obigen Kommentaren bedeutet dies

Was

Aγ−β·(M (1)(a)

(zwei)

=(m(1)(1)

)(c)6= 0

so was

Aδ−γ·(M (1)(a)

(C)

=(m(1)(1)

)(d)6= 0

sie sind. Gemäß der ersten Bedingung ist es möglich, dass a ∈ Aγ−β und m ∈(M (1)(α)

(zwei)

Wählen Sie am 6=0. Da nach Proposition 2.4.19.iii die Gewichtsräume alle eindimensional sind,

ist die k-Spanne von am, was genau der Gewichtsraum (M(1)(α) ist

(C)

.Das bedeutet, dass a′(am) 6 = 0

Für einige a′ ∈ Aδ−γ wegen der zweiten Bedingung. a′a existiert in Aδ−γ Aγ−β ⊂ Aδ−β, und

damit ist (a′a)m ∈ Aδ−β ·(M (1)(α)

)(β)6=0. Per Definition ist dies äquivalent zu β;

werben.

ii) β ;αγ 龃含 β, γ ∈ SuppM (1)(a) sowie γ − β ∈ SuppA:

β, γ ∈ Supp M (1)(α) muss wahr sein, sonst ist der Gewichtsraum (M (1)(α)

(zwei)

Summe(m(1)(1)

(C)

Null von Anfang an. Ebenso γ − β ∈ Supp A,

Andernfalls ist Aγ−β Null.

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

iii) β ;αγ gilt genau dann, wenn Aγ−βAβ−α * Aγ−αμα ist: Nach Definition ist β ?

Ah ja

Dann gilt, wenn Aγ−β (M (1)(a)

(zwei)

6= 0. Verwenden Sie das oben Gesagte

Beobachtung ist so direkt

Aγ−β · (Aβ−α/Aβ−α) = Aγ−α/Aγ−α 6= 0。

Dies ist genau dann der Fall，wenn Aγ−βAβ−α * Aγ−αma ist。

iv) {Untermodul von M (1)(α)} ↔ {sub ;α

Teilmenge von SuppM (1)(α)}: Diese Entsprechung beruht auf der Tatsache, dass einerseits der Teilmodul von M (1)(α)

seinem Träger zugeordnet, der wiederum eine Teilmenge von Supp M(1)(α) ist.

Die Summe der entsprechenden Gewichtsräume wird auf M(1)(α) abgebildet. Das ist wahrscheinlich –

definiert, weil es äquivalent zu einem Untermodul von M(1)(α) und ; einem unter α ist

Hat einen kompletten Operator. Offensichtlich sind Vorwärts und Rückwärts wechselseitig

ist invers, da die Gewichtsräume in M(1)(α) alle eindimensional sind, also

Submodule werden bereits explizit durch die Gewichtung der Vorkommen bestimmt.

v) b, Alter e c;

αβ genau dann, wenn β ∼ γ und β, γ ∈ SuppM (1)(a):

Sei zunächst β ∼ γ. Somit ist nach 2.4.27 γ das Gewicht jedes Moduls, wobei β auch gilt

Es ist ein Gewicht und umgekehrt. Dies gilt insbesondere für Untermodule von M(1)(α). existieren

Wenn jedoch Aγ−β M (1)(α)(β) 6 = 0, dann existiert A M (1)(α)(β) nur geringfügig im Gewichtsraum von γ

Ja, das heißt, wenn β;αγ gültig ist. Dann ist auch γ dasselbe;

ab.

jetzt b;age e c;

αβ wird bereitgestellt. Daraus folgt direkt, dass β, γ ∈ SuppM (1)(α)

Anwendbar. Daher ist der entsprechende Gewichtsraum ungleich Null, und wir können haben

Morphismus

M (1)(a)(b) = HomA(M (1)(b),M (1)(a)) 3 f 6= 0

elektronisch

M (1)(a)(c) = HomA(M (1)(c),M (1)(a)) 3 g 6= 0

wählen. Ihre Bilder in M(1)(α) stimmen überein: im(f) = A f(1) und im(g) =

A g(1), wie im Beweis von Satz 2.4.17.i gezeigt, f(1) ∈ M (1)(α)(β) und

g(1) ∈ M (1)(a)(c)。 Gleichzeitig bedeutet b ;ag das

Aγ−β·(M (1)(a)(b)

)=(M(1)(a)

(C)

Deshalb gibt es ein ∈ A mit a f(1) = g(1). folgen

im(f) = A · f(1) ⊃ A · a · f(1) = A · g(1) = im(g)，

Wegen γ;αβ erhalten wir auf die gleiche Weise im(g) ⊃ im(f). Nun ja, das haben wir

kommerzielles Diagramm

M (1)(b)f� im(f) � L(b) = einfacher Kopf von M (1)(b) oder im(f)

so was

Einfache Daten für M (1)(c)g im(g) L(c) = M (1)(c) ou im(g).

Da im(f) = im(g), hat M(1)(β) zwei einzelne Köpfe. Gemäß Vorschlag 2.4.19

Aber jedes M(1)(β) hat nur einen einzigen Quotienten, sodass L(β) ∼= L(γ)

Folgen Sie dem, was wir mit β ∼ γ bezeichnen.

2 Grundlegende Definitionen und Aussagen

vi) β ∼ γ genau dann, wenn Aβ−γAγ−β * mβA0:

Hier ist eine Zusammenfassung mehrerer Aussagen dieses Vorschlags. ist β ∼ γ

(und damit trivialerweise β, γ ∈ Supp M (1)(β)) genau dann, wenn β ;βγ und γ ;

BB。

Dem Letzteren entspricht der Ausdruck unter Teil (iii) des Vorschlags

Aβ−γAγ−β * Aβ−βmβ 。

Führen Sie nun unsere angeforderte Anweisung aus

Aβ−βmβ = A0mβ = mβA0,

wobei A0 auf alle φ(t) und damit auf φ(Sym(t)) bezogen ist

handeln. Die konvexe Richtung ist ebenso schnell: aus Aβ−γAγ−β * mβA0 erhalten wir

c ;bb zurück。 Daraus folgt, dass γ ∈ Supp M(1)(b) war, und weil M(1)(b) von

M(1)(β)(β) ergibt (siehe Korollar 2.4.16) und β;βγ wird ebenfalls erhalten. folgen

Schließlich erscheint β ∼ γ wieder. ,

Der vorletzte Punkt, an dem β ∼ γ gilt, gilt genau dann, wenn β ; βγ und γ ;

völlig

Ja, verdeutlicht die Beziehung zwischen ∼ und ;β

: Es wird klarer, wenn Sie nicht das Original verwenden

Sprungdefinition (L(β) ∼= L(γ)), nicht γ ∈ Supp L(β). NEIN

Um L(β) zu konstruieren, wird der Modul M(1)(β) verwendet und sein Maximalwert durch geteilt

Submodul-Ausgabe. Der gesamte Modul wird durch M(1)(β)(β) erzeugt, daher gilt das natürlich für alle

γ-Gewichte von M(1)(β), daher sind alle potenziellen Gewichte von L(β) β; βγ

Es muss sein. Die Hauptfrage ist also, wann aus dem Gewichtsbereich zurückgekehrt werden soll

γ kann auf den gesamten Generationsgewichtsraum M(1)(β)(β) zurücklaufen. das heißt nicht

wahrscheinlich einer im (größten) Untermodul, γ

tenten wird abgeschnitten und erscheint nicht mehr als Gewicht für L(β). wenn Sie dagegen Einspruch erheben

Geht man von γ nach β zurück, kann es nicht geschnitten werden und verbleibt in L(β).

Beispiele hierfür finden Sie in Abschnitt 5.5.

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

3 Vernichter J(α) und

Vektor <α> einfacher Module L(α) in O(p)

3.1 Allgemeine Informationen zu Annihilons und primitiven Idealen

Der Begriff Annihilator wurde bereits erwähnt, aber dieser Abschnitt ist gewidmet:

Hanf und detailliert. Insbesondere erklärt es, warum ein einfacher Vernichter

Module sind fast so interessant wie die Module selbst.

3.1.1 Vernichter

Zunächst einige sehr allgemeine Aussagen zu jedem Modul

Beliebige (insbesondere nichtkommutative) Algebren. unsere wiederholte Definition

Nichts:

Definition 3.1.1 (Ein modularer Vernichter). Vernichter für linkes M uber-Modul

Algebra A ist definiert als

AnnA(M) := {a ∈ A | a•M = 0} ⊂ A。

Motto 3.1.2. Vernichter J := AnnA(M) ist ein zweiseitiges Ideal von A.

beweisen. Seien a, b ∈ A. Weil

(a · J · b)·M = a·(J·(b·M)) ⊂ a·(J·M) = a·(0) = 0

a J b vernichtet auch Modulo M, also a J b ⊂ J . ,

Die folgenden Hinweise erläutern, warum Einzelmodulvernichter wichtig sind.

Es hilft, einfache Module selbst zu beschreiben – allerdings im Fall von nicht kommutativen

Man sollte es auch nicht überbewerten:

Beobachtung 3.1.3 (Vergleich von Tausch- und Nicht-Tauschfällen).

Betrachten Sie ein einfaches A-verknüpftes Modul L. Wir beschreiben Ihren Vernichter für alle Fälle

A ist kommutativ und der Fall, in dem A nicht kommutativ ist.

• In jedem Fall muss für ein maximales Linksideal m ⊂ A L isomorph zu A/m sein

(Beachten Sie, dass die Notation trap - m nichts mit dem Maximalideal zu tun hat

Was Sym(t) macht: Erstens wird L von jedem Element l ∈ L\{0} erzeugt,

A·L

a 7→ a• l,

In diesem Zusammenhang führt das linke Ideal I ⊂ A, das den Kern enthält, zu nicht

Der Ternärmodul I·l von L muss offensichtlich nur aus Nullen bestehen. Kern muss

Daher gibt es ein maximales Linksideal m.

• AnnA(L) ⊂ m gilt immer unabhängig von der Kommutativität:

AnnA(L) = {a ∈ A | a•L = 0}= {a ∈ A | a•A/m = 0}= {a ∈ A | a ·A ⊂ m}⊂ {a ∈ A | a · 1 ⊂米}=米

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

• Wenn A kommutativ ist, gilt m = AnnA(L) und einfache Module können wie folgt entwickelt werden

Beschreiben Sie einen Isomorphismus mit seinem Vernichter:

m ⊂ {a ∈ A | A · a ⊂ m}= {a ∈ A | a ·A ⊂ m}= AnnA(L)

• Wenn A jedoch nicht kommutativ ist, kann (und würde) dieser Schritt nicht durchgeführt werden

Auch seltsam, da m nur ein Linksideal sein muss, während AnnA(L) ein zweiseitiges Ideal ist

Das ist). Der Annihilator in der einfachen Modulbeschreibung ist jedoch immer noch vorhanden.

Aus Interesse.

3.1.2 Primitives Ideal

Dann erhalten sie dank des einfachen modularen Vernichters von besonderem Interesse

eigener Name:

Definition 3.1.4 (primitives Ideal). Ein Ideal J ⊂ A heißt Primitiv, wenn es ein Vernichter ist

Ein einfaches Links-A-Modul.

Später betrachten wir auch den Quotienten von Ring A im Hinblick auf das ursprüngliche Ideal:

Definition 3.1.5 (Originallieferant). Wenn J ⊂ A das ursprüngliche Ideal ist, dann bezeichnet a A/J

als Originallieferant.

Für einen solchen primitiven Quotienten gibt es sicherlich ein treues einfaches linkes Modell:

Definition 3.1.6 (Primitivring). A heißt linkes Primitiv, wenn A einfach treu ist

Linksmodul Hat [Lam91, Kapitel 11].

3.2 Algebra Eine Beschreibung des Grundideals

Geschlossener Bereich <α> zum Zeitpunkt t∗

Zur Erinnerung: Wir möchten über das einfache A-grmod-Modul sprechen. bis hierher

Wir sehen zwei unterschiedliche Lösungsansätze für dieses Problem:

• Im vorherigen Kapitel haben wir Techniken eingeführt, die einfache Module L(α) verwenden.

beschreiben ihre Operatoren – dies ist jedoch nur in der Unterklasse O(p) ⊂ A-grmod möglich

Zufriedenstellend, da L(α) eine Liste aller einfachen Module bildet. In A-grmod

Es kann viele einfachere geben!

• Allerdings haben wir gerade festgestellt, dass es nicht um die Simples selbst geht, sondern um deren Vernichtung

Teilnehmer können untersucht werden, auch wenn dies in Situationen ohne Austausch einen Informationsverlust bedeutet

Von der Anbindung des Archipels werden jedoch zumindest interessante Ergebnisse erwartet.

Nun ist jedoch klar, dass die beiden Ansätze kombiniert werden können. Überraschenderweise werden Sie das tun

Am Ende dieses Abschnitts wird festgestellt, dass man alle ursprünglichen Ideale von A-grmod erhält,

Wenn Sie nur O(p) betrachten, können diese wiederum über Operatoren eingestellt werden

Okay, einfach.

Aber nicht nur das: Bisher wurde alles algebraisch und mit Trägern betrachtet

Es ist nur ein Satz Gewichte, aber bald erhalten Sie eines für die Umsteiger

Wirklich schöne geometrische Beschreibungen.

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

3.2.1 Grundidee J(α) von A

Zurück zu unserer Algebra A = ⊕β∈t∗

Aβ und einfaches A modulo L(α). wir haben eins gesetzt

Bewertungsbereich:

Definition 3.2.1 (Vernichtung von L(α)). wir sitzen

J(a) := AnnA(L(a)) := {a ∈ A | a•L(α) = 0} ⊂ A。

Motto 3.2.2. Anwendbar

J(α) = J(α) ∩⊕β∈t∗

Aβ =⊕β∈t∗

Jab.

beweisen. Diese Form des zweiseitigen Ideals wurde bereits 2.4.13 erkannt

Gewichtsraumzerlegung von Algebra A übernehmen. Darüber hinaus haben wir in Lemma 3.1.2 gesehen, dass

Tatsächlich war der Vernichter schon immer ein doppelseitiges Ideal. ,

Daher ist ein Nullifier ein homogenes Ideal im Sinne von Definition 2.1.8.

3.2.2 Ein Vektor einfacher Module – vorgestellt als Region <α> in t∗

Der Wechsel von der algebraischen zur geometrischen Perspektive bringt neue Notationen mit sich

Mit seinem eigenen alten Bekannten:

Definition 3.2.3 (Fläche in V(ker(φ))). Sei α ∈ V (kerφ), dann bedeutet es

Äquivalenzklassen für α unter ~

<α> ⊂ V (ker(φ)) ⊂ t*。

Beachten Sie 3.2.4. Angenommen, <α> = Supp L(α).

Hinweis 3.2.5. Uns gefällt der zukünftige Zariski-Abschluss <α> von <α> in V(ker(φ))

Bedenken Sie: Stimmen Sie dem Zariski-Abschluss für t∗ = Spec(Sym(t)) zu, weil

V (ker(φ)) ⊂ Spec(Sym(t)) ist per Definition abgeschlossen.

Zu diesem Zeitpunkt ist der Träger – bisher nein

Geometrische Beschreibung – Zariski fasst zusammen, aber in einem späteren Kapitel gibt es eine Geographie –

Es macht später Sinn, wenn eine Metrikbeschreibung bereitgestellt wird. vorübergehend verlassen

Wir sprechen über die Beobachtung, dass <α> ein Punkt bei t∗ ∼= kn ist, und

Ansonsten bleiben wir gedanklich algebraisch, wenn wir über <α> und <α> sprechen.

Beachten Sie 3.2.6 (ideale Wurzeln). Wir gehen die Beobachtungen kurz durch

2.3.4、dass fur Ideale I ⊂ Sym(t)

i(v(i)) = rad(i)

Sauenfell V1, V2 ⊂ Spec(Sym(t))

i(v1∩v2) = Bogenmaß(i(v1)+i(v2))

Anwendbar. Aber wenn V1 und V2 endliche Mengen sind, dann gerade

I(V1∩V2)=I(V1)+I(V2)

Beweis: Dieser ist insofern besonders, als er I(V1 ∩ V2) ⊂ I(V1) + I(V2) beinhaltet, weil ein anderer

Die Orientierung ist trotzdem erfüllt, da I(V1 ∩ V2) = rad(I(V1) + I(V2)) ⊃ I(V1) + I(V2). enthalten

Wichtig ist, dass für zwei endliche disjunkte Teilmengen M,N ⊂ Spec(R) gilt

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

Wir können daraus schließen, dass I(M) + I(N) = R, wie wir gleich sehen werden. Dies kann geschrieben werden als V1\(V1∩V2)

e Aplique V2 \ (V1 ∩ V2):

1 = h1 + h2 ∈ I(V1 \ (V1 ∩ V2)) + I(V2 \ (V1 ∩ V2)),

Es gibt auch Jinpi f∈I(V1∩V2), dass

f = f · 1 = f · h1 + f · h2

∈ I(V1 ∩ V2) · I(V1 \ (V1 ∩ V2)) + I(V1 ∩ V2) · I(V2 \ (V1 ∩ V2))

⊂ I(V1 ∩ V2) ∩ I(V1 \ (V1 ∩ V2)) + I(V1 ∩ V2) ∩ I(V2 \ (V1 ∩ V2))

= I(V1 ∩ V2 ∪ V1 \ (V1 ∩ V2)) + I(V1 ∩ V2 ∪ V2 \ (V1 ∩ V2))

= I(V1) + I(V2),

Wunsch. Angenommen, für unsere beiden endlichen disjunkten Teilmengen M,N ⊂ Spec(R)

I(M) + I(N) = R wäre falsch. Dann gibt es ein maximales Ideal mx ⊂ R mit ⋂m∈M

mm+⋂n∈N

Reis ⊂ Reis

ist gültig, und deshalb

{x} = V (mx) ⊂ V

( ⋂m∈M

mm+⋂n∈N

Mangan

)

= V

( ⋂m∈M

)∩V

( ⋂n∈N

Mangan

)

(⋃m∈M

Vertikal (mm)

)∩

(⋃n∈N

Spannung (Mangan)

)= M∩N=∅,

Widerspruch.

3.2.3 Rundgänge: Haupt- und Halbhauptringe

Wir brauchen sofort die Begriffe „prim“ und „semiprim“. Deshalb hier eine kleine Einführung.

Wir positionieren uns in [Lam91, Kapitel 10]. Machen Sie R wieder möglicherweise privat

aktiver Ring. Viele Definitionen kommutativer Ringe, wie etwa die Definition eines Primideals,

Für nichtkommutative Ringe kann man einfach Element für Element verschieben – man kann de- verwenden.

Begrenzt, aber auch über das Ideal (immer bilateral) und somit verallgemeinernd. für

Das Primideal sieht zum Beispiel so aus:

Definition 3.2.7 (primitives Ideal). Ein Ideal p ⊂ R heißt prim, wenn für alle Ideale a, b ⊂ R und gilt

Aus ⊂ p folgt entweder a ⊂ p oder b ⊂ p.

Hinweis 3.2.8. Wenn das Ideal primitiv ist, ist es bereits eine Primzahl: Wenn ⊂ AnnR(L) subtrahiert wird

Wenn b nicht in AnnR(L) ist, dann ist b·L = L, weil L einfach ist. Also rechnest du

danach

a•L = a• (b•L) ⊂ AnnR(L)•L = 0

Ja, das beweist ⊂ AnnR(L).

Definition 3.2.9 (Semiprimideal). Ein Ideal s ⊂ R heißt semiprime if für alle Ideale

a ⊂ R und a2 ⊂ s folgen a ⊂ s.

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

Andererseits verallgemeinert diese Definition den Idealbegriff in seiner ihm eigenen Radikalität.

Gleichwertig. Die folgenden Beobachtungen unterstützen dies:

Hinweis 3.2.10. In einer austauschbaren Welt ist ein Ideal genau dann sein eigenes Radikal

if kann als Schnittpunkt der Hauptideale geschrieben werden. Dies kann auch in anderen Fällen unverändert bleiben.

Welten vertauschen: s ist genau dann semiprime, wenn s = ⋂p Schnitt

Das primäre (geeignete) Ideal p (vgl. [Lam91, Satz 10.11]).

Lassen Sie uns fortfahren und verallgemeinern:

Einstellung 3.2.11. Ein Ring R heißt prim, wenn seine ideale Nullstelle (0) eine Primzahl ist.

Dies dient natürlich dazu, die regulären Gesetze nachzubilden!

Einstellung 3.2.12. Ein Ring R heißt Halbprimzahl, wenn sein Nullideal (0) Halbprimzahl ist.

Dies ahmt einen „reduzierten Ring“ nach, d. h. einen Ring ohne nullpotente Elemente (außer 0).

Ein kurzer praktischer Überblick über den zusammengebauten Ring, der unten aus [Lam91] wiedergegeben ist.

gibt:

Hinweis 3.2.13.

• Reduktionsringe (kommutativ): a2 = 0 ⇒ a = 0 (keine nilpotenten Elemente außer 0)

• Reduzierte Ringe (nichtkommutative Ringe): a2 = 0 ⇒ a = 0 (kein Nullpotent

außer 0)

• Halber Sprengring: a2 ⊂ (0) ⇒ a = (0)

• Integralschleife (Kommutierung): ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 (kein Nullfaktor)

• Integralschleife (nichtkommutativ): ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0 (ungewichtet oder

Link ist ungültig)

• Hauptschleife: a b = (0) ⇒ a = (0) oder b = (0)

• Feld: Einheit(R) = R\0

• Ringteilung: Unit(R) = R \ 0

• Primitive Ring: hat ein originalgetreu einfaches linkes Modul

Typischerweise hängen die verschiedenen Begriffe wie folgt zusammen:

Komm. Komm nicht, klingel, komm nicht, klingel, klingel

(Elementw. ext.) (ext. über Ideal)

Komm. Reduzierter Ring ⊂ Reduzierter Ring ⊂ Halbgroßer Ring

∪ ∪ ∪ Integritätsring ⊂ Komm nicht. Int'ringe ⊂ Primringe

∪ ∪ ∪ Unternehmensringe ⊂ Abteilungsringe ⊂ Originalringe

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

3.2.4 Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen J(α) und <α>

Denken Sie an Lemma 3.2.2 J(α) = ⊕β∈t∗

J(α)β mit J(α)β = J(α) ∩Aβ 后备母猪.

Satz 3.2.14 (Beschreibung von J(α)). Wir können J(α)β das ideale I(α)β nennen

Sym(t) so zuordnen, dass

J(α)β = φ(I(α)β) · uβ ⊂ φ(Sym(t)) · uβ = Aβ

gilt, wobei uβ der Generator des Gewichtsraums Aβ der Bedingung (A2) ist. damit kannst du

i) J(α)0 ist Halbprimzahl.

ii) V (I(α)0) = <α>

iii) Wenn ich (

(+ b)∩)

= I(<α>+ b

)+ EU

()

para todo β ∈ SuppA,

Dann gilt J(α)β = J(α)0 ·Aβ +Aβ · J(α)0 für alle β ∈ SuppA.

iv) wenn ich (

(+ b)∩)

= I(<α>+ b

)+ EU

()

para todo β ∈ SuppA,

Dann wird J(α) zu 0 Zeiten erzeugt.

beweisen. Zuerst einige fertige Transformationen, wir schreiben den Gewichtsraum

Das J(α)β des Vernichters beträgt geringfügig:

J(α)β = {a ∈ Aβ | a•L(α) = 0}= {a ∈ Aβ | a•L(α)(γ) = 0 ∀γ ∈ t∗},

Da sich jeder Einzelgewichtsraum von L(α) aufheben muss,

= {a ∈ Aβ | a L(α)(γ) = 0 ∀γ ∈ 〈α〉 ∩ (〈α〉 − β)}, denn wenn γ und γ + β L(α) nicht unterstützen, ist das Produkt ist 0 Weg,

= {φ(d)uβ | d ∈ Sym(t) und φ(d)uβ•L(α)(γ) = 0 ∀γ ∈ 〈α〉 ∩ (〈α〉 − β)}, dann durch (A2 ) Jedes Element von Aβ gehört zur Form...

Wir vereinfachen nun die Bedingung φ(d)uβ•L(α)(γ) = 0: L(α) ist t∗ graduiert

Modul, wie Vergoldung, Einschlüsse uβ·L(a)(c) ⊂ L(a)(b+c). Pelz γ ∈ 〈α〉 ∩ (〈α〉 − β) vergoldet, aber Seil

Gleichung: Für ein solches γ ist L(α)(γ) 6= 0, wenn L(α)(γ+β) 6= 0. A•L(α)(γ) wird um sein

L(a) 的电影子模是 uβ•L(a)(c) ( L(a)(b+c) fosse valid, pois neste case

L(a)(b+c) 6⊂ Aβ•L(a)(c) 和 Damit aus Gewichtsgrunden auch L(a)(b+c) 6⊂ A•L(a)(c) 器皿.

Da L(α) aber einfach ist, folgt daraus

uβ•L(a)(c) = L(a)(b+c)。

Nun erinnert man sich daran, dass laut Proposição 2.4.19.iv L(α)(γ+β)∼= Aβ+γ−α/Aβ+γ−α

es ist. Somit geht die Transformation von J(α)β weiter:

J(α)β = {φ(d)uβ | φ(d)L(α)(β+γ) = 0 ∀γ ∈ 〈α〉 ∩ (〈α〉 − β)}= {φ(d)uβ | φ(d)Aβ+γ−α ⊂ Aβ+γ−αmα ∀γ ∈ 〈α〉 ∩ (〈α〉 − β)}= {φ(d)uβ | d ∈ I(a)b},

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

wobei I(α)β der Prototyp von J(α)β unter Sym(t)φ(−) uβ� Aβ ist,

I(a)b := {d ∈ Sym(t) | φ(d)Aβ+γ−α ⊂ Aβ+γ−αmα ∀γ ∈ 〈α〉 ∩ (〈α〉 − β)}= {d ∈ Sym(t) | φ(d)Aσ−α ⊂ Aσ−αμα ∀σ ∈ (<α>+ β) ∩ <α>}= {d ∈ Sym(t) | d ∈ mσ ∀σ ∈ (<α>+ β) ∩ <α>},

Durch Lemma 2.4.13.viii kombiniert mit der Tatsache, dass mσ am größten ist,

=⋂

σ∈(<α>+β)∩<α>

Elektromagnetische Wellen

= I((<α>+ β) ∩ <α>)。

Daher ist V(I(α)β) = (α+β) ∩ α. Aesop weist auf diesen Vorschlag hin:

i) J(α)0 ist ein Semiprime-Ideal in A0:

Erstens ist es tatsächlich ein Ideal in A0, denn wenn auch A0 gilt, ist J(α)0 ⊂ J(α) (weil

Der Vernichter J(α) ist ideal in A) und A0 J(α)0 ⊂ A0 (aus Gradgründen).

Dann ist A0 · J(α)0 ⊂ J(α)0.

Angenommen, wir haben ein Ideal a ⊂ A0 und a2 ⊂ J(α)0. Siehe a ⊂ J(α)0

Lüge, wir ziehen die Frage zu Sym(t) zurück: Funktioniert das?

Sym(t)φ(−)·1

// // A0

I(a)0// // J(a)0,

Nach unserem früheren Beweis, dass I(α)0 das Urbild von J(α)β unter dieser Abbildung ist.

φ−1(a2) ⊂ I(α)0,

Auch φ−1(a)2 ⊂ I(α)0,

Aber jetzt ist I(α)0 selbst ein Semiprime-Ideal in Sym(t): Jetzt haben wir Bemerkung-

kung 3.2.10 stellte fest, dass das Halbprimzahlideal ein radikales Ideal ist, und zwar nur

Wir überprüfen, dass I(α)0) = I(<α>) und seine eigene Wurzel. Das

weitermachen

φ−1(a) ⊂ I(α)0,

Wenn wir diesen Einschluss φ wieder in A0 einbringen, treten wir ein

Genau genommen

⊂ J(a)0。

ii) V (I(α)0) = <α>:Setze β = 0 ein。

iii) Wenn ich (

(+ b)∩)

= I(<α>+ b

)+ EU

()

β ∈ SuppA,

dann gilt J(α)β = J(α)0 ·Aβ +Aβ · J(α)0 für alle β ∈ SuppA:

J(α)β = φ(I(α)β)uβ

= φ (I ((<α>+ β) ∩ <α>))uβ

= φ(I(<α>+ b

)+ EU

())

uβ

= φ(I(<α>+ b

))uβ + f

(i(<α>))

uβ

= φ(I(<α>+ b

))Aβ + φ

(i(<α>))

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

Schauen wir uns die erste Zusammenfassung an: das trockene Lemma (2.4.13.viii)

Zeigen Sie, dass mγAβ = Aβmγ−β. Dies ergibt (wieder vereinfacht durch φ

auslassen):

I(<α>+ b

)Aβ =

⋂γ∈〈a〉+b

Reis

Aβ = Aβ

⋂γ∈〈a〉+b

mγ−b

= AβI(<α>)。

Weiterhin ist J(α)0 = I(<α>)u0, wobei der Generator u0 von A0 mit 1 angenommen werden kann

wählen. tatsächlich folgen

J(α)β = J(α)0 ·Aβ +Aβ · J(α)0。

iv) wenn ich (

(+ b)∩)

= I(<α>+ b

)+ EU

()

β ∈ SuppA,

Dann wird J(α) mit 0 mal erzeugt:

J(a) =⊕β∈t∗

Briefmarke

=⊕β∈t∗

J(α)0·Aβ+Aβ·J(α)0

⊂⊕β∈t∗

Aβ·J(α)0·⊕β∈t∗

= A·J(α)0·A。 ,

Folgerung 3.2.15. Wenn L(α) endlichdimensional ist, dann wird J(α) 0-mal erzeugt

J(α) ⊂ A · J(α)0 + J(α)0 ·A。

beweisen. Es muss gezeigt werden, dass die Bedingung für endlichdimensionales L(α) gilt

Der Vorschlag ist erfüllt:

Europäische Union(

(+ b)∩)

= I(<α>+ b

)+ EU

()

Sei β ∈ SuppA

Da L(α) endlichdimensional sein muss, kann sein Vektor nur endlich viele Gewichte haben.

〈α〉，则〈〈〉=〈α〉等，Berechnung

Europäische Union(

(+ b)∩)

= I ((<α>+ β)∩<α>)

= rad (I ((<α>+ β)) + I (<α>))= I ((<α>+ β)) + I (<α>)

= I(<α>+ b

)+ EU

(),

Wo die Bildung freier Radikale gemäß Anmerkung 3.2.6 verworfen werden kann. ,

Krone 3.2.16.

i) J(α)0 ist vollständig durch <α> bestimmt.

ii) Die erfüllte Bedingung ist, dass ich (

(+ b)∩)

= I(<α>+ b

)+ EU

()

wenn Sie gehen

β ∈ SuppA, dann ist jedes J(α) vollständig durch <α> bestimmt.

Gerichtsverhandlung.

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

i) Wir haben in Proposition 3.2.14 gesehen, dass V(I(α)0) = <α> gilt. ist I(V(I(α)0))

Wurzeln von I(α)0, aber aufgrund der Tatsache, dass I(α)0 eine Halbprimzahl ist, stimmt dies mit überein

sein Stamm (siehe Anmerkung 3.2.10).

I(α)0 = I(V (I(α)0)) = I(<α>),

J(α)0 = φ(I(α)0) u0 ist eigentlich vollständig durch <α> bestimmt.

ii) aufgrund meines (

(+ b)∩)

= I(<α>+ b

)+ EU

()

Für alle β ∈ Supp A können wir in Proposition 3.2.14 zeigen, dass J(α) erzeugt

werden. Diese Aussage stammt also aus dem ersten Teil dieser Schlussfolgerung. ,

Der folgende Satz ist nun das lang erwartete Ergebnis, dessen technische Voraussetzungen erfüllt sind

gen muss auf ein nerviges Motto zurückgreifen (mehr dazu weiter unten).

Glücklicherweise können alle Voraussetzungen erfüllt werden, wenn wir uns später auf das Konkrete konzentrieren

Konkrete Beispiele für Weyl-Algebren. Ziehen Sie die Vorhänge!

Satz 3.2.17 (Entsprechung zwischen primitiven Idealen und geschlossenen Idealen

ihrer Region). Wir gehen von folgenden Annahmen aus:

1. A ist linkskerbenspezifisch, das heißt, der Zustand der aufsteigenden Kette wird nur

bietet ein homogenes linkes Ideal.

2. LängeA(M(1)(α)) ist beschränkt und unabhängig von α.

3. V (ker(φ)) =⋃Ni=1 <α> besteht nur aus einer endlichen Anzahl unterschiedlicher Regionen.

4. Europäische Union (

(+ b)∩)

= I(<α>+ b

)+ EU

()

gilt für alle β ∈ Supp A und alle α ∈ V (kerφ).

Dann:

i) Für ein α ∈ V (kerφ) haben alle Primideale von A die Form J(α), sind also primitiv.

ii) Es existiert eine bijektive Beziehung von Mengen {Regionen <α> | α ∈ V (kerφ)

}1:1←→ {primitives Ideal ⊂ A}

〈a〉 ←→ J(a)

Für den ersten Punkt ist jedoch folgendes Fachsprichwort notwendig: Ihr Beweis ist

Es ist zu lang und geht methodisch viel zu weit, also konzentrieren wir uns zunächst auf die relativ detaillierten Teile

Der in [MVdB98, Lemma 3.2.1] zitierte Beweis.

Maxim 3.2.18 (Kriminell). Im Allgemeinen sei A = ⊕α∈G

Aα Graduierte Algebra

Gruppe G, daher:

• A ist eine abgestufte Primzahl und ein abgestufter linker Noetherianer (das heißt, eine Primzahl und ein Noetherianer sind).

nur für homogene linke Idealannahmen)

• A0 ist kommutativ und endlich auf k erzeugt,

• Es gibt ein Element aα ∈ Aα mit Aα = A0aα = aαA0 für alle α ∈ G.

Also folge ⋂

m∈Spezifikation (A0)

ich = (0).

Beweis (Satz 3.2.17).

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

i) Für ein α ∈ V (kerφ) haben alle Primideale von A die Form J(α):

Wir vereinfachen das Problem zunächst so, dass wir nur die Existenz von α ∈ V (ker(φ)) für J(α) = 0 beweisen müssen, und dann

Schritt bestanden.

• Wir können davon ausgehen, dass A (abgestuft) eine Primzahl ist und müssen dies nur beweisen

dass (0) = J(α) für ein α ∈ V (ker(φ)): Angenommen, wir haben welche

Zweiseitiges homogenes Primideal p ∈ A. Daher liegt das Nullideal im Quotienten A/p

prim, per Definition ist A/p ein Primring. und wann wir

Jetzt zeigen Sie, dass für ein β ∈ t∗ A/p tatsächlich (0) = J(β) ist.

Für ein α ∈ t∗ können wir dies zu p = J(α) ⊂ A vereinfachen:

J(β) = AnnA/p(L) = ker(ρ)

mit einfachem A/p-Modul L ∈ O(p) und

ρ : A/p→ Endk(L(b))。

Nun ja, das haben wir

Wildschwein --→ A/p

ρ−→ Endk(L(β))

mit ihm

p = proj−1(0) = proj−1(J(β)) = proj−1(AnnA/p(L) = ker(ρ◦proj) = AnnA(L) = J(α)

Für ein α ∈ t ∗ . Stellen Sie dazu einfach sicher, dass L auch auf A in O(p) liegt, da

Dann versichert uns Proposition 2.4.19.ii, dass L isomorph zu einem L(α) ist. Das

Dies ist jedoch gewährleistet, da man nur Surjektive von Sym(t)-Moduln ⊕α∈t∗ hat

Sym(t)/mpα � L

sehenswert. Für L modulo A/p gilt L ∈ O(p), also gibt es Folgendes

Überprojektion, wobei L als Modul Sym(t) über Sym(t)proj◦φ−−−−→ A/p interpretiert wird. OK

Aber L kann man sich auch als einen Modul A vorstellen, bei dem p genau durch Null geht

Unter Verwendung derselben Surjektion kann man sehen, dass L ∈ O(p) ⊂ A-mod (wobei

Hier wird die Wirkung Sym(t) auf A durch Sym(t)φ−→A) erklärt.

• Im Fall des Satzes können wir Lemma 3.2.18 anwenden:

– A ist eine abgestufte Primzahl und eine abgestufte linke Knott-Matrix:

Die erste ist unsere vereinfachende Annahme und die zweite gilt für den Satz

Gehen Sie einfach davon aus.

– A0 ist kommutativ und endlich auf k erzeugt:

A0 ist kommutativ, weil A0 = φ(Sym(t)) 1, wie in Bemerkung 2.1.9.vi

gefunden. A0 ist endlich erzeugt, weil wir endliche Generatoren haben

t1. . . , tn von Sym(t) (der Vektorraum t wird als endlichdimensional betrachtet

vorausgesetzt) usw. φ(ti) · 1 kann als Generator von A0 verwendet werden.

– Es gibt ein Element aα ∈ Aα mit Aα = A0aα = aαA0 für alle α ∈ t∗:

Die erste Gleichung ist das Attribut (A2): Aα = Sym(t) aα = (Sym(t) 1) aα. wenn man darüber nachdenkt

Die Elemente von Sym(t) werden durch die Elemente von Aα: why ersetzt

aα · t = t · aα − [t, aα] = (t− α(t))aα ∈ Sym(t) · aα

(und umgekehrt) halte Sym(t)aα = aαSym(t) und behaupte.

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

• Daraus erhalten wir ⋂m∈Spec(A0)

ich = (0),

Aber das maximale Ideal von Spec(A0) ergibt sich aus Spec(Sym(t)) (maximum

In Bezug auf Sym(t) sind Ideale in A0 Ideale derjenigen Kernel, die Sym(t) �A0) enthalten.

Auf diese Weise können wir, wenn wir den Schnitt noch einmal durchgehen, bestenfalls noch idealer schneiden

Sei Spec(Sym(t)) = perform t∗: ⋂α∈t∗

oder = (0).

Darüber hinaus ist in Amα der Vernichter J(α) = AnnA(M (1)(α)) enthalten,

J(α) · M (1)(α) = 0 bedeutet J(α) = J(α) · A ⊂ Amα。

Somit ist ⋂α∈t∗ schließlich wie folgt

Anna(M(1)(a)) = (0).

• Wir gehen davon aus, dass die Länge von M(1)(α) unabhängig von α ist,

N bezeichne die Obergrenze der Länge. Daher hat jedes M(1)(α) eine Kom-

Positionsfolgen der Länge n < N:

0 = M0 ⊂M1 ⊂ 。 . . ⊂Mn−1 ⊂Mn = M (1)(α)。

Nach Satz 2.4.19 hat der einzelne Faktor Mi/Mi−1 die Form L(βi)

Für jedes βi ∈ V (ker(φ)), 1 ≤ i ≤ n (zum Beispiel durch Konstruktion

βn = α). Das Produkt ihrer Vernichtung J(β1)·. . . · J(βn) muss dann

dul M(1)(α) annihilate: Zuerst findet J(βn)(= J(α)) M(1)(α). er vernichtete

a cabeça simples L(α), or seja, J(α) M (1)(α) = J(βn) Mn ⊂ Mn−1 é im

Der größte Submodul von M(1)(α). Jetzt ist J(βn−1) an der Reihe,

Ändere Mn−1 zu Mn−2 und so weiter:

J(β1) · . . . · J(βi) · . . . · J(βn) ·Mn ⊂ J(β1) · . . . · J(βi)Mi。

Schließlich sei J(β1) der Rest des Moduls bis M1

Null senden

• Wie durado J(β1) · . . . J(βn) ⊂ AnnA(M (1)(α)), und daher ⋂α∈t∗

J(不,1) · 。 . . · J(ba, na) = (0),

wobei alle nα kleiner als N sind.

• Gemäß Korollar 3.2.16 wurde Annihilator vollständig ersetzt

eingeschlossenes Gebiet. In diesem Satz gehen wir jedoch davon aus

Letztere sind in ihrer Anzahl begrenzt. Dies bedeutet, dass nur eine begrenzte Anzahl von

Definieren Sie J(βi). da das Produkt aller Vorkommen an Kreuzungen wiederum höchstens N ist

Faktor können wir davon ausgehen, dass der Schnitt endlich ist.

• In diesem endlichen Teil ist das endliche Produkt ∠α∈t∗

J(nr,1) · . . . J (nein, nein)

inklusive, muss also auch Null sein. Tatsächlich ist also J(β) = 0

Für ein β ∈ V (ker(φ)), da angenommen wird, dass A eine Rangprimzahl ist,

Demnach kann das Produkt homogener Ideale nur dann Null sein, wenn eines davon

Das Ideal der Spieler ist Null – nach Lemma 3.2.2 ist J(βi) tatsächlich Null

homogenes Ideal. Daher muss das erforderliche β vorhanden sein!

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

ii) Zeigen Sie nun schnell die Bijektion der Abbildung <α> 7→ J(α):

• Injektion: Angenommen J(α) = J(β). Das wissen wir aus Proposition 3.2.14

Es gilt <α> = V (J(α)0), also folgt <α> = <β>. • Surjektivität: Im Allgemeinen folgt aus dem primitiven I, dass I eine Primzahl ist, wie wir in 3.2.8 gesehen haben

neu berechnen. Nach dem ((i))-Teil des Satzes gilt bereits I = J(α). ,

Fazit: Wir finden nun in A eine sehr gute Beschreibung des ursprünglichen Ideals.

Und tatsächlich, in allen primitiven Idealen, nicht nur in denen, die einfach L(α) modulieren, wo

Auf geht's! Und das, obwohl wir zur Beschreibung der Region <α> nur Minderjährige verwenden

Die Kategorie O(p) muss funktionieren. Dann geht es um die Konkretisierung dieser Bereiche

geometrisch beschrieben. Seien Sie jedoch vorsichtig:

Beachten Sie 3.2.19. Dieses Schreiben ist erst dann wirklich gültig, wenn Sie es vollständig ausgefüllt haben

Vergleichen Sie die Regionen in A mit dem ursprünglichen Ideal.

• In der Mitteilung wird nicht eindeutig angegeben, dass es sich um einen geschlossenen Bereich handelt

Einfache A-Module sind bijektiv. Über einfache Module in A-grmod

nichts wissen. Kurz gesagt: {Regionen <α> | α ∈ V (kerφ)

}NÃO←→ { einfacher Modul ∈ A-grmod}

• Ist das Gebiet hingegen nicht geschlossen, können keine Schlussfolgerungen gezogen werden

Zeichnen Sie das ursprüngliche Ideal! Der nicht geschlossene Bereich <α> entspricht

Konstruieren Sie einfache modulare isomorphe Klassen L(α), möglicherweise aber auch zwei

Die nicht isomorphen Module L(α), L(β) haben das gleiche ursprüngliche Ideal. kurz:

{ Bereich| α ∈ V (kerφ)} NEIN←→ { ideales Primitiv ⊂ A}

• Obwohl wir gesehen haben, dass β ∈ <α> impliziert, dass <β> = <α>, können wir <α> ⊆ <α> nur aus β ∈ <α> ableiten, nicht unbedingt gleich.

Beispiele zur Veranschaulichung dieser Aussagen finden sich in Kapitel 5.5.

Bemerkung 3.2.20 (Link zur Universal Envelope Algebra).

Wie bereits erwähnt, gilt der Satz von Duflo [Jan83, Korollar 7.4] für die Klasse O: {primitives Ideal

Einheit (Gramm)

{Vernichter

L(λ) ∈ O

Genauer gesagt ist diese Gleichheit das Ergebnis der ersten Polyjektion

λ 7→ AnnL(λ) em

h* �

{primitives Ideal

Einheit (Gramm)

}�� m-SpecZ(g) ∼= h∗/W,

Und die zweite Surjektion ist der Schnittpunkt des ursprünglichen Ideals J mit dem Zentrum Z(g)

ist gegeben durch U(g):

J∩Z(g) = AnnL(λ)∩Z(g)

= {z ∈ Z(g) | z L(λ) = 0} = {z ∈ Z(g) | χλ(z) = 0} (wobei χλ das zentrale Merkmal von L(λ) ist)

= ker(χλ) (das ist das maximale Ideal in Z(g).

Die dritte und letzte Abbildung ergibt sich aus dem Harish-Chandra-Isomorphismus, nach dem χλ = χµ genau dann, wenn µ auf dem W-Orbital von λ liegt [Hum08, Satz 1.10.b]. Dann existiert mit h∗

Beziehung zwischen Annihilator J(α) und Transporter <α> des einfachen Moduls L(α) in 3 O(P )

ist nicht nur eine Obergrenze für die ursprüngliche ideale Parametrisierung von U(g), sondern auch

Es ist auch bekannt, dass jedes Orbital der Weyl-Gruppe mindestens einen Vernichter von L(w·λ) hat.

W·λ ist erforderlich. Daher ist eine vollständige Klassifizierung des ursprünglichen Ideals erforderlich

Beschreiben Sie die Fasern von h∗ � {primitive Ideale} genauer (Details finden Sie in

[Jos84, Kapitel 2.4]).

48 Jahre alt

4 technische Tools zum Ändern von A

4 Tech Tools-Modifikation A

In einem weiteren Prozess wird aus einem Tripel (A, t, φ) ein neues Tripel erhalten, das (A1) und (A2) erfüllt.

bauen möchte. In diesem Kapitel werden drei Konstruktionsanweisungen vorgestellt: Tensor,

Quotientenbildung und Übergang zu Unteralgebren – also die technische Grundlage

Es ist geplant, es in den folgenden Kapiteln zu verwenden. Insbesondere interessiert man sich für die Algebra bestehend aus A

entsteht durch die gleichzeitige Anwendung aller Techniken, bezeichnet mit Bχ. du verdientest

Am Ende also ein eigener Schwerpunkt, auch wenn alle notwendigen Technologien bereits vorhanden sind

Behandeln Sie sie getrennt.

Dieses Kapitel folgt [MVdB98, Kapitel 4].

4.1 Tensorprodukt zweier Konfigurationen

Es geht darum, zwei Konfigurationen (Ai, ti, φi) zu tensieren. Dies sorgt für eine geeignete

n Die Methode zum Erstellen einer neuen Konfiguration aus zwei Konfigurationen werden wir gleich sehen.

Aber auch das Umgekehrte ist nützlich: Die Ergebnisse dieses Teils werden später hinzugefügt

Wird zur Vereinfachung von Beweisen verwendet, indem große Konfigurationen als Tensorprodukte behandelt werden

Schreiben Sie kleinere Einstellungen.

Definition 4.1.1 (Tensorprodukt zweier Konfigurationen).

Seien (A1, t1, φ1) und (A2, t2, φ2) zwei Konfigurationen, die (A1) und (A2) erfüllen. definieren

sein Tensorprodukt

• Matrixalgebra A1 ⊗k A2,

• „Cartan-Kinderalgebra“ t1 ⊕ t2,

• φ definiert durch φ|t1 := φ1 ⊗ 1 und φ|t2 := 1⊗ φ2, und

t1 ⊕ t2 −→ A1 ⊗A2

t1 ⊕ t2 7→ φ1(t1)⊗ 1 + 1⊗ φ2(t2)。

Motto 4.1.2. (A1 ⊗k A2, t1 ⊕ t2, φ) erfüllt eine solche Bedingung:

Gleichnis:

• A1 ⊗k A2 ist eine k-Algebra von 1⊗ 1.

• t1 ⊕ t2 ist ein endlichdimensionaler k-Vektorraum.

• φ ist k-linear mit dem Schaltbild in A1 ⊗A2.

(A1): Die Nebenwirkung von A1 ⊗A2 auf t1 ⊕ t2 ist halbeinfach.

(A2): Der Gewichtsraum von A1 ⊗A2 wird von einem Element über Sym(t1 ⊕ t2) erzeugt.

Hinweis 4.1.3. Wir verwenden die folgenden Logos, Konventionen und Symbole:

• Wir betrachten nur Tensorprodukte über k.

• Die Gewichte in (t1 ⊕ t2)∗ ∼= t∗1 ⊕ t∗2 werden mit α = (α1, α2) bezeichnet.

• Anwendbar

Sym(t1 ⊕ t2) ∼= Sym(t1)⊗ Sym(t2)

als k-Algebra; die linke Seite wird durch die Elemente t1+t2 ∈ t1⊕t2 erzeugt

Multiplikation, mit Generator t1 ⊗ t2 ∈ t1 ⊗ t2 auf der rechten Seite und Multiplikation d1 ⊗ d2 d'1 ⊗ d'2 = (d1 ⊗ d'1)⊗ (d2 ⊗ d'2). Isomorphie wird also erreicht durch

(t1 + t2) 7→ t1 ⊗ 1 + 1⊗ t2

Erklären Sie, was ein Tauschvertrag ist.

4 technische Tools zum Ändern von A

• Immer wenn hier ein benotetes Modul A1 ⊗ A2 von O(p) auftaucht, meinen wir es ernst

Häkchen zwischen Klammern, auch wenn wir faltende Klammern vermeiden

M (p)(α1, α2)(β1,β2) statt M (p)((α1, α2))((β1,β2)) schreiben werden。

Beweis (Lemma). Die ersten drei Punkte sind klar (das heißt, das Bild von t1⊕t2 unter φ).

tatsächlich aus Paaren von Schaltelementen besteht, ist eine triviale Berechnung). existieren-

Um die Bedingungen (A1) und (A2) zu überprüfen, weisen wir äquivalente Eigenschaften zu

Nach (A1') und (A2'):

(A1'): anwendbar

A1 ⊗A2 =

(⊕α1∈t1

(A1)α1

)⊗

(⊕α2∈t2

(A2)α2

⊕(α1,α2)∈t1⊕t2

(A1)α1 ⊗ (A2)α2 。

Wegen [t1 ⊕ t2, a1 ⊗ a2] = [t1, a1] ⊗ a2 + a1 ⊗ [t2, a2] ist kein Tat

(A1 ⊗A2)(α1,α2) = (A1)α1 ⊗ (A2)α2 ,

Die obige Zerlegung ist die gewünschte Gewichtsraumzerlegung.

(A2'): unter dem Logo

Sym(t1 ⊕ t2) = Sym(t1)⊗ Sym(t2)

φ (oder seine multiplikative Erweiterung in Sym(t1 ⊕ t2) ) geht in die Karte

Sym(t1)⊗ Sym(t2)φ1⊗φ2----→ A1 ⊗A2

uber (daher auch die hier erwähnten multiplikativen Erweiterungen von φ1 und φ2).

Seien uα1 und uα2 Generatoren von (A1)α1 bzw. (A2)α2. Dann ist uα1 ⊗ uα2

Generator von (A1)α1⊗ (A2)α2

Multipliziert mit Sym(t1 ⊕ t2), bei

Sym(t1 ⊕ t2) = Sym(t1)⊗ Sym(t2) � (A1)α1⊗ (A2)α2

d1 ⊗ d2 7→ φ1(d1)⊗ φ2(d2) · uα1 ⊗ uα2

= φ1(d1)uα1⊗ φ2(d2)uα2

Eigentlich ein Volltreffer. ,

Bemerkung 4.1.4 (Wie sieht V(ker(φ)) aus?). Der Kern von φ ist gleich ker(φ1)⊕ker(φ2) ⊂t1 ⊕ t2. Unter Isomorphismus (t1 ⊕ t2)∗ ∼= t∗1 ⊕ t2

* oder

V (ker(φ)) = {α ∈ (t1 ⊕ t2)∗ | α(ker(φ)) = 0}

Übermensch

V (ker(φ1))⊕ V (ker(φ2)) = {α1 + α2 ∈ t∗1 ⊕ t2∗ | α1(ker(φ1)) + α2(ker(φ2)) = 0},

Denn wenn für jedes t1 +t2 ∈ ker(φ) α1(t1)+α2(t2) = 0, dann gilt α1(t1) = 0

e α2(t2) = 0。

Jetzt wissen wir, dass wir auf diese Weise tatsächlich die zuvor beschriebene Konfiguration haben

Werde besser. Als nächstes die gewünschte Beziehung ∼ und ;α

für

Nehmen Sie an, dass das Tensorprodukt zweier Konfigurationen beschrieben wurde. Die folgende Aussage ist

Aus [MVdB98, Proposition 4.1.1]:

Motto 4.1.5.

4 technische Tools zum Ändern von A

i) Es gilt β ;αγ genau dann, wenn β1 ;

A'1

c1 durch b2; a2

γ2 ist.

ii) β ∼ γ se e somete se β1 ∼ γ1 e β2 ∼ γ2。

Gerichtsverhandlung.

i) Nach Lemma 2.4.28 gilt die Beziehung β;αγ genau dann, wenn

(A1 ⊗A2)γ−β(A1 ⊗A2)β−α * (A1 ⊗A2)γ−α

Das ist. Wenn man es basierend auf unserer Identität ein wenig umschreibt, erhalten wir

((A1)γ1−β1 ⊗ (A2)γ2−β2) ((A1)β1−α1 ⊗ (A2)β2−α2) * ((A1)γ1−α1 ⊗ (A2)γ2−α2) (mα1 ⊗mα2 ) 。

Beachten Sie, dass die Multiplikation in A1 ⊗ A2 durch Komponenten definiert ist, also

Es ist ersichtlich, dass die obige Bedingung den folgenden beiden entspricht:

(A1)γ1−β1(A1)β1−α1

* (A1)γ1−α1ma1

elektronisch

(A2)γ2−β2(A2)β2−α2

* (A2)γ2−α2mα2

Lemma 2.4.28 beweist dies erneut genau dann, wenn β1 ; α1

c1 durch b2; a2

γ2 ist

(Beachten Sie bei faktoriellen Vergleichen, dass wir ein Feld hervorheben.)

ii) Die Äquivalenz von β ∼ γ und β1 ∼ γ1 und β2 ∼ γ2 ist nun

Dieser letzte Punkt passt zu Vorschlag 2.4.28. ,

Anmerkung 4.1.6 (Träger von A1⊗A2). Wie im Beweis von Lemma 4.1.2 gezeigt,

Der Gewichtsraum von A1 ⊗A2 hat die Form

(A1 ⊗A2)(α1,α2) = (A1)α1⊗ (A2)α2

Somit sind Tensorproduktvektoren direkte Summen von Vektoren

A1 und A2 zusammen:

Angebot(A1 ⊗A2) = Angebot(A1)⊕ Angebot(A2),

Wir verwenden wieder die Notation von (t1 ⊕ t2)∗ und t∗1 ⊕ t∗2.

4.2 Quotient und seine Einstellungen

Nicht nur Tensoren, sondern auch bestimmte Quotientenbildungen ermöglichen neue Möglichkeiten.

Konstruieren Sie einen Graphen aus (A, t, φ).

Definition 4.2.1 (Quotient). Sei (A, t, φ). Fixiere ein Element t ∈ t durch φ(t)

Wählen Sie λ = λ(t) ∈ k, zentriert auf A. Dann erhalten Sie eine neue Konfiguration inklusive

• Algebra A := A/(φ(t− λ)) (Ideale auf beiden Seiten werden geteilt),

• Invarianter Vektorraum t,

• φ definiert durch φ := proj ◦ φ。

Anmerkung 4.2.2. Weil φ(t) und damit φ(t)−λ zentral in A ist, ist A(φ(t−λ)) = (φ(t−λ))A

Automatisch doppelseitig ideal.

Vorschlag 4.2.3. (A, t, φ) ist eigentlich eine andere Konfiguration:

4 technische Tools zum Ändern von A

• A ist eine k-Algebra mit einer 1.

• t ist ein endlichdimensionaler k-Vektorraum.

• φ ist k-linear mit dem Schaltbild in A.

(A1): A ist semieinfach bezüglich der akzessorischen Rolle von t.

(A2): Der Gewichtsraum von A wird durch ein Element über Sym(t) erzeugt.

beweisen. Der algebraische Quotient eines zweiseitigen Ideals ist eine weitere Algebra. existieren

t ändert sich nicht und φ ist wieder k-linear; die Kommutativität des Graphen von φ ist

A ist auf die Kommutativität des Graphen von φ in A zurückzuführen. Jetzt für zwei Spaß

Punkte beweisen wir die beiden Äquivalenzbedingungen erneut:

(A1’): A =⊕α∈t∗

Aα bezüglich der Linkswirkung des zusätzlichen t: Nach Lemma 2.4.13.vii gilt

A/(φ(t− λ)) =⊕α∈t∗

Aa/Aaf(t− λ),

Weil φ(t− λ) in A zentriert ist. Darüber hinaus gilt für a ∈ Aα aufgrund der Zentralität von φ(t− λ),

[t', a] = [t', a] = α(t')a = α(t')a,

Außerdem gilt Aα/Aαφ(t− λ) = (A/(φ(t− λ)))α = Aα.

(A2'): Sym(t) Aα: wie folgt

Sym(t) � Aα � Aα/Aα(φ(t)− λ) = Aα。

Basierend auf [MVdB98, Abschnitt 4.2] behaupten wir, dass:

Bemerkung 4.2.4 (Wie sieht V(ker(φ)) aus?). Effektiv V (ker(φ)) = V (ker(φ))∩V (t−λ),

Weil du es kannst

ker(φ) = ker(φ) + (t− λ)

Zeigt: Es ist klar, dass es klar ist, dass es ker(φ) ⊃ ker(φ) + (t − λ) enthält und umgekehrt

Es gibt nur ein d ∈ ker(φ), nämlich

φ(d) ∈ φ(Sym(t) · (t− λ))。

Dann gibt es ein d' ∈ Sym(t) mit

φ(d) = φ(d′(t− λ)),

Dies entspricht

φ(d− d′(t− λ)) = 0。

Dann liegt d− d′(t− λ) im Kern von φ, woraus

d ∈ d′(t− λ) + ker(φ) ⊂ (t− λ) + ker(φ)

weitermachen.

Ohne näher auf die Form von M(p)(α) und L(α) auf A einzugehen, können wir dies tun

Folgende Erklärungen können gegenüber Ihrem Spediteur abgegeben werden:

Motto 4.2.5.

i) Seien α, β, γ ∈ V (ker(φ))。 Es gilt β ;αγ ∈ V (ker(φ)) genau dann, wenn β ?

ag∈

V ist (ker(φ)).

4 technische Tools zum Ändern von A

ii) Seien β, γ ∈ V (ker(φ))。 Dann gilt β ∼ γ ∈ V (ker(φ)) genau dann, wenn β ∼ γ ∈ V (ker(φ))

Das ist.

Gerichtsverhandlung.

i) Seien α, β, γ ∈ V (ker(φ)) = V (ker(φ))∩ V (t− λ)。 Es gilt β ;αγ ∈ V (ker(φ)) genau dann,

wenn β ;αγ ∈ V (ker(φ)) ist: Die Relation β ;

Nach Lemma 2.4.28 ist αγ äquivalent zu

Aγ−βAβ−α * Aγ−ama,

Auch für die Quotientenkonfiguration β ; αγ ist äquivalent zu

Aγ−βAβ−α * Aγ−ama。

Da Aα = Aα/Aαφ(t − λ), können wir dies wie folgt in Bezug auf umformulieren

die Menge der Restklassen Aγ−βAβ−α/Aγ−αφ(t− λ) ⊂ Aγ−α/Aγ−αφ(t− λ):

Aγ−βAβ−α/Aγ−αφ(t− λ) * Aγ−αμα/Aγ−αφ(t− λ),

Entscheidend ist, dass φ(t − λ) in A zentriert ist. Die erforderliche Anweisung ist jetzt

gleichbedeutend damit

Aγ−βAβ−α/Aγ−αφ(t− λ) ⊂ Aγ−αμα/Aγ−αφ(t− λ)

genaue Zeit

Aγ−βAβ−α ⊂ Aγ−ama

Anwendbar. Das Endergebnis impliziert sofort die oberste Zeile. Stattdessen: Es ist so

aγ−bab−α +Aγ−αφ(t− λ) = aγ−αm+Aγ−αφ(t− λ)

Für alle aγ−β, aβ−α (aus dem offensichtlichen Gewichtsraum) und aγ−α und m ∈ mα folgt daraus einfach

aγ−bav−a ∈ Aγ−ama +Aγ−αφ(t− λ)

Anwendbar. Was uns hier glücklicherweise rettet, ist, dass α in V(t − λ) liegt, was bedeutet

(t− λ) ⊂ ma und damit auch Aγ−αμα +Aγ−αφ(t− λ) = Aγ−αμα πλατή金。 Wir haben damit

jemandes Wunsch erfüllen

Aγ−βAβ−α ⊂ Aγ−ama

Sicht.

ii) 令 α, β, γ ∈ V (ker(φ))。 enthält β ∼ γ

Lasst uns etwas nach oben gehen, weil

β ∼ γ ∈ V (ker(φ)) ⇔ β ;αγ ∈ V (ker(φ)) e γ ;

αβ ∈ V (ker(φ))

⇔ β ;αγ ∈ V (ker(φ)) e γ ;

αβ ∈ V (ker(φ))

⇔ β ;αγ ∈ V (ker(φ))。 ,

Bemerkung 4.2.6 (Unterstützung für A/(φ(t − λ))). Der Träger von A/(φ(t − λ)) ist im

Ein Vektor, der A enthält: Wir haben gesehen, dass dies für den Gewichtsraum von A berücksichtigt wird

Aα = Aα/Aα(φ(t)− λ)

Das ist. Der wahrscheinlichste Fall ist, dass auf dem Gürtel von A weniger Gewicht lastet als auf dem Gürtel von A.

A, das heißt, wenn für α ∈ Supp (A) gilt:

Aα = Aα(φ(t)− λ)。

Ob dies geschieht, hängt von den Eigenschaften von A ab, was nicht der Fall ist

Die Antwort ist durchschnittlich.

4 technische Tools zum Ändern von A

4.3 Subalgebra und ihre Umgebung

In einigen Fällen ist es auch möglich, Unteralgebren von A zu finden

und eine neue Konfiguration erhalten:

Definition 4.3.1 (Subalgebra). Sei (A, t, φ). Sei S∗B ⊂ t∗

(t*,+). Dann erhalten Sie eine neue Konfiguration

• Pseudoalgebra B :=⊕β∈S∗B

Aβ⊂A,

• Vektorraum t,

• φB definiert durch φB(t) := φ(t) (auch ‘φB = φ’)。

Vorschlag 4.3.2. (B, t, φB) ist tatsächlich eine andere Konfiguration:

• B :=⊕β∈S∗B

Aβ ist eine k-Algebra mit einer 1.

• t ist ein endlichdimensionaler k-Vektorraum.

• φB ist k-linear mit einem Schaltbild in B.

(A1): Aufgrund der akzessorischen Rolle von t ist B semisimple.

(A2): Der Gewichtsraum von B wird durch ein Element über Sym(t) erzeugt.

Gerichtsverhandlung.

• Tatsächlich ist B eine Unteralgebra von A: Es seien a1 ∈ Aβ1 und a2 ∈ Aβ2

Beliebig, β1, β2∈S∗B. Dann ist a1 · a2 ∈ Aβ1+β2 , da S∗B eine Gruppe ist, muss das notwendige Gewicht angegeben werden

β1 + β2 ist tatsächlich in S∗B enthalten, also ist a1 · a2 in B enthalten.

• t ist immer noch derselbe endlichdimensionale Vektorraum wie zuvor.

• φ wurde in der alten Konfiguration auf A0 gemappt (Stichwort „switchable image“). A0 ist

Auch in B enthalten, da S*B eine Untergruppe von t* sein muss und daher 0 enthält.

(A1) und (A2): In diesem Fall werden beide automatisch umgesetzt, da wir für den Aufbau verantwortlich sind

beteiligt sich einfach an der Zerlegung des Gewichtsraums von B aus A,

Bemerkung 4.3.3 (Wie sieht V (ker(φB)) aus?). Machen Sie nun das alte φ und das neue

φB ist dasselbe wie t, nur dass sich in A etwas außerhalb des Bildes von φ geändert hat. Dein Kern

sind daher gleich und es gilt V (ker(φB)) = V (ker(φ)).

Hinweis 4.3.4. M (p)(α) und L(α) sind wieder genau wie folgt aufgebaut

Bis jetzt, seitdem Cartant und seine Wirkungen gleich geblieben sind, außer dass wir es jetzt einfach tun

Die Unteralgebra B ⊂ A wird immer noch verwendet, sodass ein Teil des Gewichtsraums weggelassen wird.

Hinweis 4.3.5. Wenn das abgestufte Modul B t∗ M m1 überschreitet, ..., mn mit Isotop erzeugt

Es gibt keine Beziehung zwischen n Generatoren mi ∈ Mξi für ξi ∈ t∗ Generatoren, also nur

Andere Gewichte als n⋃i=1

(ξi + S∗B)

als M-Träger. Dies erklärt, warum wir den M-Träger (p)(α) beschreiben

und L(α) (beide von einem Element erzeugt) nur V (ker(φB)) =

V (ker(φ)) hat die Form ξ + S∗B.

4 technische Tools zum Ändern von A

Aus [MVdB98, Proposition 4.3.1] behaupten wir, dass:

Motto 4.3.6.

i) Seien α, β, γ ∈ ξ+S∗B für ein ξ ∈ t∗. wir haben, dass b ;ag B genau dann überschreitet, wenn b ;

oh super

einer ist.

ii) β ∼ γ über B genau dann, wenn β ∼ γ über A.

Gerichtsverhandlung.

i) Wir haben β; αγ überschreitet B genau dann, wenn β;

αγ auf A ist: muss noch einmal überprüft werden

sei es

Aγ−βAβ−α * Aγ−ama

passiert zufällig in

Bγ−βBβ−α * Bγ−ama

Anwendbar. Nun ist per Definition für jedes Gewicht δ ∈ S∗B Bδ = Aδ. Unterschied

Tatsächlich liegen γ − β, β − α und γ − α alle in S∗B, da sich dies ändern kann

ξ, das nicht in S∗B enthalten ist, wird abgeschnitten. Daher ist die Äquivalenz der obigen Aussagen nur

Tautologie.

ii) β ∼ γ über B genau dann, wenn β ∼ γ über A: Dies ist a wie zuvor

Eine direkte Folge von Punkt (i). ,

Anmerkung 4.3.7 (Inhaber von B). Der Träger von B wurde genau definiert als

Supp (B) = S∗B ∩ Supp (A) ist。

4.4 Variation von Algebra A: Algebra Bχ

4.4.1 Konstruktion von Bχ

Somit zeigt die obige Struktur, wie man aus den Konfigurationen (A, t, φ), (A1) und (A2) erhält

erfüllt, immer noch (A1) und (A2) erfüllend

Zahlen sind vorhanden. Hier haben wir es mit einem Sonderfall zu tun.

Bemerkung 4.4.1 (Link zur Universal Envelope Algebra). eine Studie

Modul U(g) Aus gravimetrischer Sicht ist es sinnvoll, Ka-

Kategorie O, die alle einfachen Module mit maximalem Gewicht enthält. es zerfällt in

direkte Summe, der sogenannte „Block“ Oχλ, wobei χλ : Z(g) → C das Zentrum ist

Charakteristisch ist der algebraische Homomorphismus des Zentrums Z(g) von U(g) komplexer Zahlen

zahlen. Ein Block Oχλ besteht aus den Modulen U(g) in O, wobei (Z(g)−χλ(Z(g)))

Funktioniert wirkungslos. Hier verläuft h wie bei O diagonal, das heißt, jedes Modul hat a

Gewichtsraumzerlegung im Zusammenhang mit dem h-Effekt. Nach [Soe86, Satz 1] existiert eine Regularität für λ

Allerdings ist die Äquivalenz der Klasse Oχλ ∼= O′χλ, wobei O′χλ ⊂ g-mod o 'reverse' ei-

Eigenschaft: Hier muss (Z(g)−χλ(Z(g))) die Nulloperation bestehen, daher liegt der Modul in O′χλ

sind bezüglich der Wirkung Z(g) diagonalisierbar, während sie bezüglich der Wirkung h einfach sind

Es muss eine verallgemeinerte räumliche Gewichtszerlegung erfolgen.

Unser A-Modul in O(p) verfügt auch über eine verallgemeinerte Gewichtsraumzerlegung

t-Effekt. Wie wir eine Simulation des diagonalisierbaren Effekts von Zen erstellen

Batterie? Anstatt die Algebra A zu betrachten, betrachten wir etwa

Zusatzoperationen für Unterräume g ⊂ t. Wir wissen also, dass g sich bei befindet

Ag existiert, wir fordern, dass g durch χ ∈ g∗ operiert werden muss. g durch das AG-Modul

χ(g) ist konkret der Modul Ag/(g − χ(g))Ag. Daher berücksichtigen wir Folgendes

Algebra-Teil

Ag/(g − x(g))Ag。

4 technische Tools zum Ändern von A

Definition 4.4.2 (Bχ-Algebren). Sei (A, t, φ). Sei g ⊂ t Unterraum, sei

x ∈ g*. dann setz dich

Bx := Ag/(g− x(g))

wobei Ag der Konzentrator für die Aktion g ⊂ t ist,

Ag = {a ∈ A | ∀t ∈ g : [φ(t), a] = 0},

e o ideal bilateral

(g− χ(g)) = (g− χ(g))Ag = Ag(g− χ(g))

In Ag ist die Partition durch g − χ(g) := {φ(t) − χ(t) ∈ A | t∈g} gegeben. so nimm

eine neue Einstellung

• Algebraisches Bχ,

• Vektorraum t,

• φBχ ist definiert durch φBχ = proj ◦ φAg.

Hinweis 4.4.3. Es gilt Ag = ⊕

α∈V(g)Aα：

Ag =

(⊕α∈t∗

Aα

) G

=⊕α∈t∗

Silber Alpha

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | ∀t ∈ g : [φ(t), a] = 0}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | α(g) · a = 0}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | α(g) = 0}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | g ⊂ ker(α)}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | α ∈ V (g)} denn g ⊂ ker(α) = ma ≈ α ∈ V (g)

=⊕

α∈V(g)

Ah.

Ag ⊂ A ist also tatsächlich eine Unteralgebra im Sinne des vorherigen Abschnitts, wobei S∗B := V (g).

Vorschlag 4.4.4. (Bχ, t, φAg) erfüllt alle Eigenschaften dieser Konfiguration

Hund:

• Bχ ist eine k-Algebra mit einer 1.

• t ist ein endlichdimensionaler k-Vektorraum.

• φBχ = φAg ist k-linear mit einem Schaltbild in Bχ.

(A1): Der begleitende Effekt von Bχ auf t ist halb einfach.

(A2): Der Gewichtsraum von Bχ wird von einem Element durch Sym(t) erzeugt.

4 technische Tools zum Ändern von A

beweisen. (Bχ, t, φBχ) ist das Ergebnis mehrerer Konstruktionsschritte.

Wie gehen sie im Präzedenzfall auf Unteralgebren und zentrale Quotienten über?

Die ersten beiden Abschnitte werden vorgestellt. Sobald Sie die Bestätigung erhalten haben, können Sie dies tun

Wenden Sie die Ergebnisse der Sätze 4.2.3 und 4.3.2 nacheinander an, um den Satz zu beweisen

zu testen.

• Ag ist eine Unteralgebra im Sinne von Abschnitt 4.3: in der letzten Beobachtung, die wir haben

Weil Ag = ⊕

α∈V(g)Aα und V(g) sind tatsächlich additive Untergruppen

Wundt*.

• Schreiben Sie Bχ um, damit es in den Abschnitt über Quotienten passt.

Daher können wir Ag in ein Ideal der Form φ(t − λ) zerlegen, wobei t ∈ t gilt, so dass

φ(t) ist der Mittelpunkt von Ag, λ = λ(t) ∈ k. Für t kann jedes Element von g verwendet werden.

Ausgewählt, weil sie alle per Definition Kerne von Ag sind. Betrachten Sie auch λ(t) := χ(t). Dann

Aus Satz 4.2.3 erfüllt (Ag/(φ(t − λ(t))), t, φ) wieder (A1) und (A2).

Wiederholen Sie diese Konstruktion, bis der gesamte Unterraum g partitioniert ist

(nur endlich viele Konstruktionsschritte, da t und g

als endlichdimensional betrachtet). ,

Lemma 4.4.5. Unterstützung V (ker(φBx)) = V (ker(φ)) ∩ V (g − χ(g)).

beweisen. Gemäß Bemerkung 4.3.3 ändert die Umwandlung in Unteralgebren nichts an V(ker(φ)). Europa

Der Rest stammt ebenfalls aus der entsprechenden Aussage 4.2.4 des Kapitels Shang

kontinuierliche Anwendung: daher ist es so

V (ker(φBχ)) = V (ker(φ)) ∩ V (t1 − χ(t1)) ∩ . . . ∩ V (tk − χ(tk))

Für den t1-Generator, ..., tk von g. Darüber hinaus sollte beachtet werden, dass tatsächlich

α ∈ V (t1 − χ(t1)) ∩ . . . ∩ V (tk − χ(tk)) ⇔ α(ti − χ(ti)) = 0 für alle 1 ≤ i ≤ k⇔ α(t− χ(t)) = 0 für alle t ∈ g

⇔ α ∈ V (g− χ(g))

Golden. ,

Über das Gewicht auf dem Träger lassen sich dann folgende Aussagen treffen (siehe [MVdB98, Vorschlag

Position 4.4.1]):

Siehe 4.4.6. Seien α, β, γ ∈ V (ker(φ)) ∩ V (g− χ(g))。

i) Temos β ;αγ para Bχ se e somemente se β ;

A's AG ist.

ii) β ∼ γ für Bχ und manchmal β ∼ γ für A.

Gerichtsverhandlung.

i) Wir haben β; αγ überschreitet Bχ genau dann, wenn β;

αγ auf A ist: Wie zuvor verwenden wir

Wenden wir zunächst die entsprechende Aussage für den Teilring auf Ag ⊂ A an, so sehen wir

β auf A; αγ tritt genau dann auf, wenn β;

αγ auf Ag, dann drehen

Nach und nach wird im Quotientenkapitel gezeigt, dass das Äquivalent von β ; αγ über Bχ

erhalten.

ii) β ∼ γ über B genau dann, wenn β ∼ γ über A: Dies ist a wie zuvor

Eine direkte Folge von Punkt (i) oder einer entsprechenden Kombination

Ergebnisse von Unteralgebren und Quotienten. ,

4 technische Tools zum Ändern von A

Folgerung 4.4.7. Daraus folgt, dass für α ∈ V (ker(φ)) ∩ V (g − χ(g)) gilt:

〈α〉Bχ = 〈α〉A ∩ V (g− χ(g))。

Gerichtsverhandlung.

• <α>Bχ ⊂ <α>A ∩ V (g− χ(g))：

Per Definition ist β ∈ <α>Bχ genau dann gegeben, wenn β ∼ α von Bχ. zurück

Satz 4.4.6 Dies ist äquivalent zu β ∼ α von A, d. h. wir haben

β ∈ 〈α〉A, e também waren α e β stets in V (ker(φBχ)) = V (ker(φ)) ∩ V (g− χ(g))。

• <α>Bχ ⊃ <α>A∩V (g− χ(g))：

Auch diese Aussage folgt direkt aus dem Satz. ,

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

5 Verallgemeinerte Weyl-Algebren

Von nun an haben wir es mit einer speziellen Konfiguration (A, φ, t) zu tun: Wir betrachten Weyl-Algebren.

In diesem Abschnitt wird dann der zugehörige Vektorraum t definiert

Berechnet, um die Bedingungen (A1) und (A2) zu erfüllen. Das Letzte ist der Punkt

Beziehung; Alpha

und ∼ , da der Graph bisher algebraisch ist, erhält das Versprechen

Geometrischer Farbspritzer. Wir folgen soweit wie möglich [MVdB98, Kapitel 6]. Auch

Da wir uns nun mit der konkreten Algebra befassen, können wir es endlich tun

Besprechen Sie Beispiele. Doch zunächst müssen wir einige technische Vorarbeiten leisten.

5.1 Definition und erste Eigenschaft

Definition 5.1.1 (Verallgemeinerte Weyl-Algebra A). breit definiert

Weyl-Algebra A als Quotient

±1n , ∂1, . . . , ∂n>/ ∼

Wortlose Algebra in x1, . . . xr, x±1r+1, . . . , X

±1n , ∂1, . . . , ∂n, wobei n := r + s. Europa

Diese Beziehungen sind

[xi, xj ] = 0 ∀ 1 ≤ i, j ≤ n[∂i, ∂j ] = 0 ∀ 1 ≤ i, j ≤ n[∂i, xj ] = δij ∀ 1 ≤ i, j ≤ nxix−1i = 1 ∀ r + 1 ≤ i ≤ n

produzieren. Wir verfolgen den weit verbreiteten Missbrauch von Symbolen, gelegentlich auch des Schreibens

k[x1, . . . xr, x±1r+1, . . . , X

±1n , ∂1, . . . , ∂n]

Für verallgemeinerte Weyl-Algebren verwenden wir es von nun an normalerweise als

steht für „Weyl-Algebra“.

Beachten Sie 5.1.2. Aus der obigen Beziehung ergibt sich die folgende Kom-

Leiten Sie die Mutatorbeziehung für x−1j her:

[xi, x−1j] = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n, r + 1 ≤ j ≤ n

[∂i, x−1j] = δij(−x−2

i ) ∀ 1 ≤ i ≤ n, r + 1 ≤ j ≤ n。

Das lässt sich zum Beispiel schnell berechnen

[∂i, x−1i] = ∂ix

−1i−x

−1i ∂i

= (x−1i xi)∂ix

−1i−x

−1i ∂i

= x−1i (∂ixi − 1)x−1

i − x−1i ∂i

= −x−2i 。

Das nächste Lemma werden wir immer wieder brauchen:

Lemma 5.1.3 (Berechnung). Mithilfe der algebraischen Weyl-Beziehung kann gezeigt werden, dass:

i) ∂xk = xk∂ + kxk−1 Für positiven Exponenten k,

ii) ∂xk = xk∂ + kxk−1 für negativen Exponenten k,

iii) x∂k = ∂kx− k∂k−1 für positiven Exponenten k,

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

wobei der Index i immer unterdrückt wird, um die Notation zu vereinfachen.

Gerichtsverhandlung.

i) Die Induktion beginnt: Per Definition ist ∂x = x∂ + 1. Induktionsschritte:

∂xk+1 = (x∂ + 1)xk

= x(∂xk) + xk

= x(xk∂ + kxk−1) + xk

= xk+1∂ + (k + 1)xk。

ii) Die Induktion beginnt: ∂x−1 = x−1∂ − x−2 = x−1∂ + (−1)x(−1)−1 gemäß Be-

Hinweis 5.1.2. Induktionsschritte:

∂xk−1 = (∂xk)x−1

= (xk∂ + kxk−1)x−1

= xk(∂x−1 + kx−2)

= xk(x−1∂ − x−2 + kx−2)

= xk−1 + (k − 1)x(k−1)−1。

iii) Die Induktion beginnt: Per Definition gilt x∂ = ∂x− 1. Induktionsschritte:

x∂k+1 = (x∂k)∂

= (∂kx− k∂k−1)∂

= ∂k(x∂ − k)

= ∂k(∂x− 1− k)

= ∂k+1x− (k + 1)∂(k+1)−1。 ,

Beachten Sie 5.1.4. Algebra wird oft als Weylalgebra bezeichnet

k[x1, . . . xn, ∂1, . . . , ∂n]

Das Fehlen von x−1i entspricht in unserer Definition dem Sonderfall s = 0, r = n. wir machen weiter

[MVdB98] Variantendefinitionen. Wir werden jedoch später sehen, dass das Wichtigste ist

Die bekannten Eigenschaften klassischer Weyl-Algebren gelten auch für unser verallgemeinertes Weylal

Gebra kann das bestätigen.

Die folgenden Ergebnisse und Beweise für klassische Weyl-Algebren finden sich in [Cou95]. existieren

Im klassischen Fall wird die Basis der Weyl-Algebren beschrieben und anschließend der Grad definiert.

Ein Element wird anhand vieler zentraler Aussagen in [Cou95] demonstriert. im Fall von

Verallgemeinerte Weyl-Algebren sind bei der korrekten Definition des Grades etwas zurückhaltend

Ein Element der Weyl-Algebra, kann dann aber auf die gleiche Weise argumentiert werden wie in [Cou95].

werden. Wir beschreiben zunächst die Grundlage der verallgemeinerten Definition von Weyl-Algebren,

Auch dies ist nur eine kleine Ergänzung zum Beweis in [Cou95].

Lema 5.1.5. Für eine Weyl-Algebra A gilt:

i) Weyl-Algebra A ist das Tensorprodukt von n kleinen Weyl-Algebren Ai, wobei

Ai:= k[xi, ∂i] fur i ≤ rAi:= k[x±1

i , ∂i] fur i > r,

Das heißt, es gibt einen Isomorphismus der Algebra

A∼= A1⊗. . . ⊗ eins.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

ii) Die Basis von A ist durch ein Monom der Form gegeben

xα11 ∂β1

1·。 . . · xαnn ∂βnn

Gegeben, wobei βi ∈ Z≥0 für alle 1 ≤ i ≤ n und αi ∈ Z≥0 für alle 1 ≤ i ≤ r und αi ∈ Z für

Todo r + 1 ≤ i ≤ n.

beweisen. i) Anwendung A → A1 ⊗ . . .⊗An, definiert als

xi 7→ 1⊗ 。 . .⊗ 1⊗ xi ⊗ 1⊗ . . .⊗ 1 fur 1 ≤ i ≤ n∂i 7→ 1⊗ . . .⊗ 1⊗ ∂i ⊗ 1⊗ . . .⊗ 1 fur 1 ≤ i ≤ n

x−1i 7→ 1⊗ 。 . .⊗ 1⊗ x−1

Standort i︸︷︷︸i-te

⊗1⊗ 。 . .⊗ 1 fur r + 1 ≤ i ≤ n,

Tatsächlich kann man mit einem wohldefinierten algebraischen Isomorphismus berechnen

er kann. Insbesondere schalte ich Generatoren mit unterschiedlichen Indizes um

A (aufgrund der definierenden Beziehung der Weyl-Algebra und

Notation 5.1.2), also können wir jedes Monom in A so umordnen, dass

Vorkommende Produzenten werden nach aufsteigendem Index sortiert.

ii) Wir finden die Basis von A oben, indem wir die Basis von A1⊗ finden. . . ⊗ Schauen Sie mal rein

und wenden Sie den neu konstruierten Isomorphismus an. Das ist alles was wir brauchen

Finden der Grundlage für kleine Weyl-Ai-Algebren.

• Für 1 ≤ i ≤ r wird Ai durch das Monom xαii ∂βii erzeugt, wobei αi, βi ∈ Z≥0: Betrachten

Darstellung von Monomen in Ai korrigiert. Alle xi im Monom in Ai können mithilfe der Kommutatorbeziehung [∂i,xi] = 1 auf die linke Seite von ∂i gebracht werden

Anwendbar. Dadurch wird die Länge der Restlaufzeit tatsächlich kleiner. Jeden

Auch diese übrigen Terme können durch Induktion in die richtige Reihenfolge gebracht werden

Oh.

• Für r + 1 ≤ i ≤ n wird Ai durch das Monom xαii ∂βii erzeugt, wobei αi ∈ Z und βi ∈ Z≥0

Ja: Wir wählen wieder eine feste Darstellung des Monoms in Ai. Darin kannst du

Es entstehen zwei Arten von Fehlklassifizierungsfaktoren: Für ∂ixi kann man wie zuvor

Verwenden Sie die Beziehung [∂i,xi] = 1, um das Problem zu lösen. ein Faktor

Die Form ∂ix−1i kann die Beziehung [∂i, x

−1i] = −x−2

Ich wurde neu geordnet,

Der resultierende Rest hat ein ∂i weniger als zuvor und am Ende

Der Klassifikationsprozess ist im Monom nicht mehr ∂i enthalten und auch nicht vorhanden

Problembereiche treten häufiger auf.

• Für jedes i sind die aufgeführten Monome in Ai linear unabhängig: Ein Mensch kann sterben

Betrachten Sie die Elemente von Ai als lineare Operatoren auf k[x±1i] oder k[xi]. es ist ein

Linearkombination D = ∑cαiβix

αii ∂

βii ist ein nicht trivialer Operator, ebenso wie D

Andere Elemente als 0 in einer Weyl-Algebra. Wählen Sie das kleinste βi

cαiβi 6 = 0, und wende D auf das Polynom xβii an. Blätter

D(xβii ) = βi!∑αi

Kewicks,

Für ∂βii (xni ) = βi!, wenn n = βi und ∂βii (xni ) = 0 für alle 0 ≤ n < βi. mit haben

Daher ist xβii ein Polynom, bei dem D nicht verschwindet, also ist D 6 = 0, wenn a

cαiβi ist nicht Null (vergleiche mit dem Beweis von [Cou95, Proposition 1.2.1]),

Dies gewährleistet die eindeutige Definition von:

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Definition 5.1.6 (Reihenfolge der Elemente der Weyl-Algebra). Stellt ein Element a ∈ A in der Basis oben dar, d. h.

a = ∑α,b

caβxα11 ∂β1

1·。 . . · xαnn ∂βnn

mit α = (α1, . . . , αr, αr+1, . . . , αn) ∈ Zr≥0 × Zs e β = (β1, . . . , βn) ∈ Zn≥0。 dann definieren

Ihre Reihenfolge ist längste Länge |β| := β1 + . . .+ βn,

ord(a) = sup{|b| | es gibt ein α mit caβ 6= 0},

und setze ord(0) = −∞.

Über das sequentielle Verhalten bei Addition, Multiplikation und Kommunikation kann folgendes gesagt werden.

Die Elemente einer Weyl-Algebra können wie folgt ausgedrückt werden:

Motto 5.1.7. Sei a, a′ ∈ A. Vale:

i) ord(a+ a′) ≤ max{ord(a), ord(a′)}, wenn die Reihenfolge von a und a′ unterschiedlich ist,

Gleichheit ist unter allen Umständen gewährleistet.

ii) ord(a') = ord(a) + ord(a')。

iii) ord([a, a']) ≤ ord(a) + ord(a')− 1, cai ord(a), ord(a') ≥ 1 次。

beweisen. Wie in [Cou95, Satz 2.1.1] gezeigt: Die erste Ungleichung ist offensichtlich, weil

Wenn a und a′ gelten, wird auf unserer Basis auch a+ a′ geschrieben. andere

Beides lässt sich durch den gewöhnlichen induktiven Beweis von ord(a) + ord(a') erkennen. ,

Bemerkung 5.1.8 (Ordnungsfilterung von Weyl-Algebren). Unterraum definieren

Ck := {a ∈ A | ord(a) ≤ k}

Weyl-Algebren. Diese Unterräume bilden den Filter C von A, also die Bedingung

• Ck ⊂ Ck+1

• A =⋃k

• Ck · Cl ⊂ Ck+l

erfüllt ist (siehe [Cou95, Kapitel 7.2] für eine Definition der Ordnungsfilterung). Hintern-

Die zugehörige abgestufte Algebra ist definiert als

grC(A) =⊕k

(Ck/Ck-1),

wobei C−1 := 0 definiert ist. Verwandte abgestufte Algebren sind isomorph zu Polynomringen

Von den 2n Variablen im Jahr+1, ..., Sie:

grC(A) ∼= k[y1, . . .Jahr, Jahr±1r+1, . . . , u

±1n , z1, . . . , Stempel].

Das Beweisverfahren ähnelt dem von [Cou95, Theorem 7.3.1] und besteht aus drei Schritten:

• Stellen Sie sicher, dass grC(A) von y1 abhängt. . . Jahr, Jahr ±1r+1, . . . , du

±1n , z1, . . . , Zinkbildung

wobei yi und y±1i in grC(A) die entsprechenden Bilder von xi und x±1 sind

europäische Union

In A entspricht zi ∂i.

• Es wurde festgestellt, dass das Umschalten der beiden Generatoren der Weyl-Algebra A darauf zurückzuführen ist

Lemma 5.1.7.iii hat eine niedrigere Ordnung und ist daher im zugehörigen Rang Al Null

Fertig, grC(A) ist eine kommutative Algebra.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

• Die letzten beiden Schritte führen zur Existenz surjektiver Homomorphismen

Algebra

k[y1, . . .Jahr, Jahr±1r+1, . . . , du

±1n , z1, . . . , zn] � grC(A),

Dies ist ebenfalls injektiv, wie aus dem Lemma auf der Basis von A using hervorgeht

5.1.5.ii prft。

Wir verwenden die sequentielle Filterung als nützliches Werkzeug, um die folgenden Grundlagen zu identifizieren

Schauen Sie sich die legendären Eigenschaften der Weyl-Algebren an:

Satz 5.1.9 (Drei Eigenschaften von Weyl-Algebren). Die folgenden Eigenschaften

Zufrieden mit der Weyl-Algebra A:

i) A ist Linksknottist, das heißt, die aufsteigende Kette linker Ideale wird stationär.

ii) A ist einfach, d. h. es hat keine nichttrivialen bilateralen Ideale.

iii) A hat keinen Nullfaktor.

Gerichtsverhandlung.

i) A ist ein linker Knottist, d. h. die aufsteigende Kette linker Ideale wird statisch

onar: Wir stellen fest, dass der Polynomring k[y1, . . .year, year±1r+1, . . . , you

±1n ,

z1, . . . , zn] ist ein Noether-Ring, weil nach Hilberts Fundamentalsatz k[y1, . . .Ja,

z1, . . . , zn] Noetherian (siehe [Cou95, Theorem 8.2.1]) und Noetherian-Lokalisierung

Diese Ringe sind wieder Noetherringe (da nach [AM69, Proposition 3.11.i] ideal gelegen).

Idealisierung im Urring, Inklusion zwischen Idealen

reserviert, da der Standort gemäß [AM69, Vorschlag 3.3] korrekt ist). Desweiteren

Die verwandte abgestufte Algebra der Noetherschen grC(A)-Weyl-Algebra. Wie [Cou95,

Satz 8.2.3] Daraus folgt, dass A selbst Noethers ist.

ii) A ist einfach: Angenommen, a ⊂ A ist ein zweiseitiges Ideal ungleich Null. wähle ein

Das Element niedrigster Ordnung a in a. Wenn ord(a) = 0, dann ist a ein Polynom in x1, ... . . xr,

x±1r+1, . . . , X

±1n ,

a = ∑α

Hey,

wobei xα = xα11 . . . xαnn Ja. Wir können annehmen, dass jedes αi ≥ 0 ist, weil

Andernfalls kann a auf die entsprechende Potenz von xi erhöht werden und das Ergebnis sollte sein

Wieder einmal gelogen. Da a tatsächlich ein zweiseitiges Ideal ist, ist der Schalter [a, a']

für alle a' ∈ A wieder in a. Nun schalten wir so geschickt um, dass das Ergebnis in k

Daher muss a = A sein: Betrachten Sie die Summe von cγ 6 = 0,

Für den ersten ist γ1 = sup{α1 | cα 6 = 0} der größte, also ist γ2 = sup{α2 | cα 6 = 0, α1 = γ1} der größte unter den anderen Kandidaten und so weiter. Lemma aus der Arithmetik

5.1.3.i Bestätigung

[∂i, xγi] = γi · xγi−1

Das ist. Wenn wir also ∂i γi mal vertauschen, erhalten wir den Faktor xγii durch γi! ∈k

wird ersetzt und alle Monome mit xαii , αi < γi werden ins Jenseits geschickt. lasst es uns wiederholen

Für alle 1 ≤ i ≤ n Prozesse eliminieren wir dann alle cαxα-Monome mit α 6 = γ, und

Das Monom cγxγ von cγγ1! . . . N! ersetzt durch k. Nun diskutieren wir den Fall, dass ord(a) > 0 ist.

Per Definition bedeutet dies, dass βi in der Darstellung

a = ∑α,b

caβxα11 ∂β1

1·。 . . · xαnn ∂βnn

Größer als Null. Wenn wir das arithmetische Lemma 5.1.3.iii verwenden, sehen wir, dass [xi, ∂βii ] =

−βi∂βi−1i, was bedeutet, dass [xi, a] die richtige niedrigere Ordnung ist, ord([xi, a]) = |β|−1. Aber

Zu Beginn gehen wir davon aus, dass a ∈ a von minimaler Ordnung ist, ein Widerspruch.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

iii) A hat keine Nullfaktoren: In Lemma 5.1.7.ii sehen wir das für das Produkt zweier Elemente

Die Elementadditionsordnung der Weyl-Algebren. Wenn beide Faktoren ungleich Null sind,

Ihre Ordnung ≥ 0, also ist das Produkt auch von der Ordnung ≥ 0>-∞,

Insbesondere ist das Produkt nicht Null. ,

Beachten Sie 5.1.10. Im Beweis sehen wir sogar, dass A auf beiden Seiten Knotts ist.

5.2 (A, t, φ) Konfiguration von Weyl-Algebren

Für die Weyl-Algebra A wollen wir konkrete Beispiele der Algebra A geben. bis jetzt

Aber die eigentliche „karibische Algebra“ t und die Abbildung φ : t → A fehlen noch, also A und

Eine adjungierte Operation auf t, die (A1) und (A2) erfüllt.

Definition 5.2.1 (Vektorraum t). Hier ist t gegeben durch

t := Palme {π1, . . . , πn | πi = xi∂i} (⊂ A).

Definition 5.2.2 (φ-Mapping). Wir definieren φ := inkl : t ↪→ A wie gegeben durch

Beziehe t in die Algebra A ein.

Erfüllen Sie die Grundanforderung zum Aufrufen der (A, t, φ)-Konfiguration.

Sagen Sie das nächste Motto. Für die Attribute (A1) und (A2) ist der nächste Teil

Gebucht.

Motto 5.2.3. Seien A, t und φ dieselben wie oben. Anwendbar

i) A ist eine k-Algebra, in der es Einsen gibt.

ii) t ist ein endlichdimensionaler k-Vektorraum.

iii) φék-linear.

iv) φ(t) ist kommutativ in A.

beweisen. Hier gibt es nichts zu zeigen. Wir sind davon überzeugt, dass φ(t) =

t ⊂ besteht eigentlich aus Paaren von Schaltelementen:

[πi, πj ] = [xi∂i, xj∂j ] = 0。

Hinweis 5.2.4. Im nächsten Abschnitt wird das Gewicht t der zusätzlichen Aktion angegeben

Um A zu beschreiben, greifen wir auf die Identifizierung von t∗ ∼= kn mithilfe von π∗i 7→ ei zurück.

Darüber hinaus stellen wir hier fest, dass, da ker(φ) = 0, die Identität

V (ker(φ)) = V ((0)) = {m ∈ Spec(Sym(t)) | (0) ⊂ m} = Spec(Sym(t)) ∼= t∗

Golden.

5.3 Räumliche Zerlegung von Gewichten in Weyl-Algebren

In diesem Abschnitt wird der Rang t∗ der Weyl-Algebra bestimmt – mit anderen Worten wir

Ich möchte die räumliche Gewichtszerlegung der gemeinsamen Wirkung von A in Bezug auf t berechnen

für. Der additive Effekt von t auf A durch φ kann hier leicht beschrieben werden als

Die Abbildung φ umfasst nur den Unterraum t in der Weyl-Algebra und wird daher vergessen

Könnte es sein. Das folgende kleine Lemma verdeutlicht, dass das Gewicht t im Generator liegt

xi, x−1i und ∂i stammen aus Weyl-Algebren.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Lemma 5.3.1 (Gewichte für zusätzliche t-Aktionen auf Generatoren).

[πi, xj ] = δij · xj = π∗j (πi) · xj[πi, x

−1j ] = −δij · x−1

j = −π∗j (πi) · x−1j

[πi, ∂j ] = −δij · ∂j = π*j (πi) · ∂j

beweisen. Für i 6 = j ist alles in der Weyl-Algebra kommutierbar. Für i = j wird es einfach berechnet

zurück:

[xi∂i, xi] = xi∂ixi − xixi∂i = xi∂ixi − xi([xi, ∂i] + ∂ixi) = −xi · [xi, ∂i] = xi

elektronisch

[xi∂i, x−1i] = xi∂ix

−1i −x

−1i xi∂i = xi∂ix

−1i −∂i = xi∂ix

−1i −∂ixix

−1i = [xi, i]x

−1i = −x−1

europäische Union

so was

[πi, i] = xi∂i∂i − ixi∂i = [xi, i]∂i = −∂i。

Nun wollen wir beweisen, dass A eine räumliche Zerlegung der Gewichte im Sinne von (A1') und (A2') hat,

d.h. wir mögen die Algebra im Gewichtsraum

A =⊕α∈t∗Aα

über die zusätzliche T-Links-Aktion, sodass Sie auch einen Volleyschuss haben

Sym(t) � Aα

verursacht durch φ im Gewichtsraum. Daher sollte der Gewichtsraum von der Form abhängen

Aα = φ(Sym(t)) · aα

für den aα-Generator. Da φ der Einschluss von t oder Sym(t) in der Weyl-Algebra A ist, verwenden wir die Beobachtung 2.1.9.vi

A0 = Sym(t) · 1 = k[π1, . . . , πn].

Nun geben wir den Generator aα des Gewichtsraums an:

Definition 5.3.2. Sei α ∈ Zn. Definieren Sie aα :=n∠i=1

x(αi)i , ich bin x

Kurzschreibweise für (αi)i

Die folgenden Elemente sind:

i > r : x(αi)i := xαii

i ≤ r : x(αi)i := xαii , cai αi ≥ 0

x(αi)i := ∂−αii , cai αi < 0.

Satz 5.3.3 (Räumliche Zerlegung von A-Gewichten). Die Weyl-Algebra A hat ein Gewicht

Raumzerlegung

A =⊕α∈Zn

A0·aα

Additiver Effekt auf t. Das Gewicht α liegt in Zn ⊂ kn ∼= t*, wobei

Unter Verwendung der Notation aus Beobachtung 5.2.4, sodass α =n∑i=1

αiπi ∈ t∗ als Tupel

(αi)1≤i≤n ∈ Zn。

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Hinweis 5.3.4. Beachten Sie zur Erklärung diese Äquivalenz von t* mit kn

Konkret geht ein Element t = ∑ciπi ∈ t in aα durch

[t, aα] = α(t)aα =∑

ciαi·aα

Es klappt. Daher kann man sagen, dass α ∈ Zn das Gewicht des Gewichtsvektors aαmin ist. ist der additive Effekt von t auf A.

Beachten Sie 5.3.5. Betrachten wir also nicht nur ein Gewicht außer (A1') und (A2')

Beweisen Sie die Raumzerlegung, sehen Sie sich aber auch Gewichte in Z-Netzwerken an

T* Lüge! Dies sollte genügend Motivation liefern, mit dem folgenden Beweis fortzufahren.

beweisen. Sei α ∈ Zn. Wir demonstrieren die erwarteten Ergebnisse in mehreren Schritten. der erste

Wir zeigen, dass t in A0 · aα tatsächlich durch α funktioniert, d. h. wir mögen

A0 · aα ⊂ Aα = {a ∈ A | [t, a] = α(t)a für alle t ∈ t}

Überprüfen. Aufgrund der Linearität der Wirkung müssen wir nur πi überprüfen. Weil

[πi, d · aα] = πid · aα − d · aαπi = πid · aα − dπi · aα︸︷︷︸=0

+dπi · aα − d · aαπi = d · [πi, aα]

Wir müssen nur [πi, aα] = αiaα berechnen. Dieses Problem kann darauf zurückzuführen sein

[πi, aα] = πi·n∠k=1

x(αk)k −

n∞k=1

x(αk)k · πi =

(∠k

x(αk)k

)[πi, x

(αi)i]

(∠k>i

x(αk)k

)

reduziert sich wieder, sodass nur noch [πi, x(αi)i ] = αix gilt

(αi) Ich muss sehen:

• Für i ≤ r und αi < 0, d. h. wenn x(αi)i = ∂−αii, ist das Ergebnis:

[πi, ∂−αii] = [xi∂i, ∂

−αii]

= xi∂i∂−αii − ∂−αii xi∂i

= −(−αi∂−αi−1i )∂i nach Lemma 5.1.3.iii

= αi∂−αii

= αix(αi)

• Ansonsten ist x(αi)i = xαii, unabhängig davon, ob αi positiv oder negativ ist. Also rechnest du

[πi, xαii] = [xi∂i, x

αii]

= xi∂ixαi − xαixi∂i

= xi(xαii ∂i + αix

αi−1i )− xαii xi∂i Gemäß Lemma 5.1.3.i oder Lemma 5.1.3.ii

= αixαi .

Als nächstes mögen wir ∑α∈Zn

A0 · aα = A

Überprüfen. Wir haben in Lemma 5.1.5.ii gesehen, dass jedes Element einer Weyl-Algebra mit folgt

Verwenden Sie eine Standardbasis bestehend aus Monomen der Form

m = m1 . .mn mit mi = xli∂ki ∈ Ai,

ausdrucken. Daher müssen wir für ein solches Monom nur zeigen, wie man es in die folgende Form umwandelt

d · aα für d ∈ k[π1, . . . , πn] und α ∈ Zn. Lass es uns jetzt zeigen

Wir können m = mi in die Form mi = di x(αi)i bringen, wobei di ∈ k[πi], also jedes

Spüre das Uber-Wort (mi).

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

• ord(mi) = 0: Addiere außerdem αi := l zu mi = xli = x(αi)i.

• ord(mi) = k > 0: Mit anderen Worten, mi hat die Form xli∂ki. Lassen Sie nun die folgende Situation zu

Passiert: Sei 1 ≤ i ≤ r.

– l = 0: hier gilt

mi = ∂ki = x(αi)i

αi := −k。

– l = 1: in diesem Fall gilt

mi = xi∂ki = πi∂

k−1i = πix

(αi)i

αi := −k + 1。

– l ≥ 2: wir können Lemma 5.1.3.i und anwenden

mi = xli∂ki

= xi(xl−1i ∂i)∂

k−1i

= xi(∂ixl−1i − (l − 1)xl−2

i )∂k−1i

= πixl−1i ∂k−1

i − (l − 1)xl−1i ∂k−1

europäische Union

= (πi − l + 1)xl−1i ∂k−1

europäische Union

Berechnen Sie, wo das Monom xl−1i ∂k−1 des letzten Schritts ist

Ich bilde durch Induktion

Hat Schwänze (αi) mich.

Sei nun r + 1 ≤ i ≤ n. Hier können wir das Arithmetische Lemma 5.1.3.ii verwenden, um dies für alle l ∈ Z zu tun

Monom mi = xli∂ki umformen：

mi = xli∂ki

= xix−1i · x

Kraft ∂ ki

= xi(xl−1i ∂i)∂

k−1i

= xi(∂ixl−1i − (l − 1)xl−2

i )∂k−1i

= πixl−1i ∂k−1

i − (l − 1)xl−1i ∂k−1

europäische Union

= (πi − l + 1)xl−1i ∂k−1

Europäische Union ,

und gilt durch die Induktionshypothese

xl−1i ∂k−1

i = de·xαii = de·x(αi)i

Für entsprechendes di ∈ k[πi] und αi ∈ Z.

Somit folgt unmittelbar die Deklaration eines beliebigen Standardelementarmonomials m =

1 Reis. .mn:

m = m1 。 . .mn

= d1 · x(α1)1 。 . . dn·x(αn)

= d1 。 . . dn·x(α1)1 。 . . x(αn)

= d · aα,

Denn in Weyl-Algebren kommutieren Generatoren mit unterschiedlichen Indizes immer. zu guter Letzt

Die fehlende Summe ∑α∈Zn

A0 · aα = A

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

ist bereits eine direkte Summe ⊕α∈Zn

A0 · aα = A

es ist. Dies ist jedoch eine Standardaussage für die räumliche Gewichtszerlegung, z. B.

Nachzulesen in [TY05, Lema 22.4.6]. ,

Folgerung 5.3.6. Die Konfiguration der Weyl-Algebra (A, t, φ) erfüllt die Bedingungen (A1) und

(A2)。

Will man einen beliebigen Unterraum g ⊂ t und χ ∈ g∗ zum zentralen Quotienten

g-invariante Bχ = Ag/(g−χ(g))Ag, die Frage ist, wie das Nettogewicht ist

In diesem Fall erscheint SuppBχ (vgl. Bemerkung 4.2.6).

Lema 5.3.7. Es gilt SuppBχ = SuppAg = Zn ∩ V (g).

Gerichtsverhandlung.

• Die zweite Gleichung verwendet SuppAg = SuppA ∩ V (g) und

Aus Satz 5.3.3 ist ersichtlich, dass die Träger von A Zn ⊂ t* sind.

• Die erste Gleichung ergibt sich aus der Division durch Null von A: aus Beobachtung 4.2.6

Es wurde festgestellt, dass der Träger von Bχ in jedem Fall im Träger von Ag enthalten ist, und

es zeigt es einfach

(g− χ(g))Aα ( Aα gilt für alle α ∈ SuppAg. Nun ist aber Aα = Sym(t) aα und jedes Element von Aα ist tem

Eine eindeutige Darstellung von daα, die für d ∈ Sym(t) geeignet ist, nur weil

daα = d′aα oder (d − d′)aα = 0 Daraus folgt, dass d = d′ sein muss (A ist der Satz

5.1.9 Divisor null Pfund). Für d ∈ Sym(t) folgt Aα eher d/∈(g− χ(g)) als α/∈(g − χ(g)). , 1999.

5.4 Modulträger auf Weyl-Algebren

Wie bereits erwähnt liegen die Gewichte der Weyl-Algebren alle in Zn ⊂ t∗ vor, was ziemlich bemerkenswert ist

hinlegen. Dies hat auch Auswirkungen auf die Gewichte t* der Module der Weyl-Algebra,

Besonders für diejenigen in O(p). Inhaber solcher Module müssen selbstverständlich nicht dabei sein

Zn ist eine Lüge, aber es wird dennoch erwartet, dass es in der Beschreibung das Z-Netzwerk trägt

Pop-up:

Betrachten wir ein A modulo M ∈ O(p). Insbesondere ist ein solches Modul hierarchisch, also aufrechterhaltend

AαM(β) ⊂ M(α+β). Wenn M mit dem Grad β erzeugt wird, kann normalerweise darauf geschlossen werden, dass sich sein Träger in befindet

Beta + Ergänzung (A). Wenn A = A nun eine Weyl-Algebra ist, liegt ihr Träger in β + Zn

Lüge.

Beschreiben Sie projizierte Gewichte und einfache Gewichte genauer

Als nächstes überprüfen wir das Verhalten von Modulen in O(p) in Bezug auf die Weyl-Algebra A

Insbesondere Aussagen über die Eigenschaften des Tensorprodukts zweier Konfigurationen

Tensorprodukt zweier Weyl-Algebren.

Satz 5.4.1 (Tensorprodukt von Weyl-Algebren).

i) Nach Lemma 5.1.5.i ist eine Weyl-Algebra A das Tensorprodukt von n kleinen Weyl-Algebren Aimit

Ai:= k[xi, ∂i] fur i ≤ rAi:= k[x±1

i , ∂i] fur i > r,

Insbesondere ist das Tensorprodukt von r Replikaten k[x, ∂] und s Replikaten

k[x, x−1, ∂]。

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

ii) Wenn (A, t, inkl) und (A', t', inkl') zwei algebraische Weyl-Konfigurationen sind, dann gilt das Lemma

4.1.2 das

(A⊗k A′, t⊕ t′, (inkl : (t, t′) 7→ inkl(t)⊗ inkl′(t′)))

Es ist wieder diese Einstellung. Darüber hinaus ist A⊗kA′ eine Weyl-Algebra und

t⊕ t′ stimmt mit der „Cartan-Subalgebra“ von A⊗k A′ überein.

iii) Gemäß Lemma 4.1.5 gilt die Beziehung β ;αγ bei t ⊕ t' genau dann, wenn β1 ;

A'1

c1e

b2; a2

γ2 ist.

iv) Lemma 4.1.5 besagt auch, dass β ∼ γ genau dann äquivalent sind, wenn β1 ∼ γ1

e β2 ∼ γ2。

aktuelle Beziehung;

~ trotz ihrer eher abstrakten Natur sehr konkret beschreiben

Definition. Diese guten Ergebnisse stammen aus [MVdB98, Proposition 6.1, Korollar 6.2] und

ist die Grundlage für alle nachfolgenden Unterstützungen einfacher geometrischer Beschreibungen

Module in O(p). Sie liefern auch die Quelle für die Beispiele im nächsten Abschnitt.

Satz 5.4.2. Seien α, β, γ ∈ t∗. β ; αγ gilt genau dann, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind

Um die Bedingungen zu erfüllen:

1. α, β, γ liegen im selben Gitter, nämlich

α ≡ β ≡ γ mod Zn。

2. Wenn 1 ≤ i ≤ r mit αi ∈ Z, dann muss die folgende Folgerung gelten:

αi ≥ 0, βi < 0 ⇒ γi < 0,

αi < 0, βi ≥ 0 ⇒ γi ≥ 0。

beweisen. Ich verifiziere gerade diese Aussage für die Weyl-Algebren k[x, ∂] und k[x, x−1, ∂],

Nach Satz 5.4.1.ii wird es vom Tensorprodukt dieser kleineren Weyl-Algebren geerbt, und

Also nach Proposition 5.4.1.i für alle Weyl-Algebren. Der Vorteil dabei ist, dass in diesen

In beiden Fällen ist es nur eindimensional, also liegen α, β und γ in k vor und mα hat die Form

mα = k[π] (π − α) ⊂ k[π] = Sym(t) = A0. Darüber hinaus tut es der Produzent aα

Der Gewichtsraum Aα hat die einfache Form aα = x(α).

Denken Sie an Lemma 2.4.28: Daher gilt:

β ;αγ genau dann, wenn Aγ−βAβ−α * Aγ−αma,

Lassen Sie uns nun diese Formel verwenden. es geht direkt von dieser Haut

Wirklich

γ − β ∈ Z, β − α ∈ Z 和该死的 γ − α ∈ Z

muss angewendet werden, sonst ist der zugehörige Gewichtsraum 0 und wird somit zwangsläufig verlassen

Seiten enthalten sind, das heißt, wir haben impliziert

b ;ag ⇒ Bedingung(1)

zeigen. Schauen wir uns nun andere Bedeutungen an: Hier müssen wir zwischen k[x, ∂] und unterscheiden

k[x, x−1, ∂] ist unterschiedlich, weil die Gewichtsraumgeneratoren anders aussehen.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

• Wenn A = k[x, x−1, ∂] Bedingung (2) leer ist, müssen wir nur sehen, wie

Bedingung (1) folgt β ; αγ: sei α ≡ β ≡ γ mod Z. Daraus folgt x(m) = xm

Für m ∈ Z also

Aγ−β = k[π]x(m) = k[π]xm fur m := γ − β ∈ Z

Aβ−α = k[π]x(n) = k[π]xn fur n := β − α ∈ Z

Das ist. Nach Lemma 5.3.1 ist es auch gültig

k[π]xm = xmk[π]

so ist es

Aγ−βAβ−α = k[π]xm k[π]xn

= k[π]xm+n

= Aγ−α。

Jetzt können wir abschließen

Aγ−βAβ−α = Aγ−α * Aγ−ama。

• Wir beschäftigen uns nun mit der Weyl-Algebra A = k[x, ∂]. Wir haben aus β ; αγ gesehen

Bedingung (1) wird automatisch befolgt, wir können also von einem weiteren Beweis dafür ausgehen

(1) erfüllt ist, müssen wir beweisen, dass m := β − α und n := γ − β:

Ist α ∈ Z，则 gilt (α+m) ;a

(α+m+n) genau dann, wenn

α ≥ 0, α+m < 0 ⇒ α+ n+m < 0,

α < 0，α+m ≥ 0 ⇒ α+ n+m ≥ 0。

Erste Beobachtung: Lemma 5.3.1 ist wertvoll

AnAm = k[π]x(n) · k[π]x(m) = k[π]x(n)x(m)。

Dies ist in k[π]x(n+m), jetzt müssen wir sehen, ob in der Transformation

x(n)x(m) Unter den Elementen von k[π]x(n+m) kommt der Faktor (π − α) vor oder kommt nicht vor

Entscheiden

AnAm * An+mmα

Anwendbar. Hier verwenden wir den Nullfaktor von A, der es uns ermöglicht, auszudrücken

Die Elemente in d x(n+m) ∈ k[π]x(n+m) stellen sicher, dass d ∈ k[x] eindeutig bestimmt ist.

Nun, um die Situation glücklicherweise zu unterscheiden

In fast allen Fällen (α+m) ; α

(α+ n+m) ist ohne Einschränkungen wahr (nur nicht).

fur α ≥ 0, α+m < 0 und α < 0, α+m ≥ 0, wir wollen gerade zeigen)。

– α ∈ Z:

∗ n ≥ 0, m ≥ 0:

Hier gilt immer x(n)x(m) = xnxm = xn+m = x(n+m), also keine anderen Bedingungen

gen AnAm = An+m * An+mmα。

∗ n < 0, m ≥ 0:

Hier ist x(n)x(m) = ∂−nxm, wir müssen zurückgehen und sehen, wie

An+m ist zufällig AnAm. Mit Lemma 5.1.3.i erhalten wir:

∂−nxm =

{x(n+m)(π +m) . . . (π + 1), cai − n ≥ mx(n+m)(π +m) 。 . . (π + n+m+ 1), cai − n < m。

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Wenn α positiv oder Null ist, dürfen die oben genannten Faktoren nicht in mα enthalten sein

Und es gibt keine Bedingungen. Wenn α negativ ist, aber auch wenn α < −m, ist dies möglich

Auch die oben genannten Faktoren liegen nicht in mα vor. Nur erforderlich, wenn α + m ≥ 0

Hinweis: Wenn −n ≥ m (d. h. γ = α+ n+m < 0), gilt (π +m). ... ... ... (π + 1)

Absolut in mα. Nur wenn −n < m etwas zu tun hat: dann muss man

α > −(n+m+ 1) ist erforderlich. Also gilt (α+m) ; α

(a+n+m)

Zustand

α < 0, α+m ≥ 0 ⇒ α+ n+m ≥ 0

Derivat. Wenn wir davon ausgehen, dass es in die andere Richtung geht, werden wir uns am Ende bedanken

α + n + m ≥ 0 ist zufällig der Fall, den wir gerade überprüft haben

Tatsächlich ist AnAm * An+mmα gültig.

∗ n ≥ 0, m < 0:

Ähnlich wie beim vorherigen wird zur Berechnung Lemma 5.1.3.iii verwendet

x(n)x(m) =

{x(n+m)(π +m+ 1) . . . (π + 1)π, cai n ≥ −mx(n+m)(π +m+ 1) 。 . . (π + n+m)，则 n < −m。

Anwendbar. Wie zuvor nur, wenn α ≥ 0

Quasi-Constraints der β = α+m und γ = α+n+m Schulen

Ergebnis. Wenn α > −(m+ 1) (d. h. α+m ≥ 0), müssen wir uns entscheiden, zu wählen

γ legt keine Grenze fest, aber wenn α ≤ −(m+1), dann gilt α < −(m+n)

erforderlich ist, wir haben die Bedingung

α ≥ 0, α+m < 0 ⇒ α+ n+m < 0

neu berechnen.

∗ n < 0, m < 0:

Hier erscheint immer x(n)x(m) = ∂−n∂−m = xn+m, also AmAn = An+m

Es gibt keine Bedingungen.

– α /∈ Z: Hier ist die Bedingung AmAn * An+mmα immer erfüllt, da beim Umschalten

nur ganzzahlige Koeffizienten und keine Faktoren aus den Faktoren von x(m)x(n)

(p − a) kann auftreten。 ,

Folgerung 5.4.3. Seien β, γ ∈ t∗. Es gilt β ∼ γ genau dann, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind

Um die Bedingungen zu erfüllen:

1. β und γ liegen im selben Gitter, d. h

β ≡ γ mod Zn。

2. Wenn 1 ≤ i ≤ r, sodass βi oder γi in Z liegt, dann ist βi ≥ 0 genau dann, wenn γi ≥ 0

Das ist.

Beweis. Nach Lemma 2.4.28 gilt β ∼ γ und β, γ ∈ SuppM (1)(a) genau dann, wenn β ; αg

und γ; αβ. Nach dem letzten Satz ist dies genau dann der Fall, wenn

• α ≡ β ≡ γ mod Zn

• Wenn αi ∈ Z, 1 ≤ i ≤ r, dann gilt (αi ≥ 0, βi < 0 ⇒ γi < 0), .

bzw (αi < 0, βi ≥ 0 ⇒ γi ≥ 0)

• Wenn αi ∈ Z, 1 ≤ i ≤ r, dann gilt (αi ≥ 0, γi < 0 ⇒ βi < 0), .

bzw. (αi < 0, γi ≥ 0 ⇒ βi ≥ 0).

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Dies entspricht

• α ≡ β ≡ γ mod Zn

• Sofern αi ∈ Z, 1 ≤ i ≤ r, 所以 gilt (αi ≥ 0, βi < 0 ⇔ γi < 0), .

bzw. (αi < 0, βi ≥ 0 ⇔ γi ≥ 0),

was zurückgeben

• α ≡ β ≡ γ mod Zn

• Wenn βi ∈ Z oder γi ∈ Z, 1 ≤ i ≤ r, dann gilt (βi ≥ 0 ⇔ γi ≥ 0).

kann verkürzt werden, da das Vorzeichen von α bedeutungslos geworden ist. α kann nun geschlossen werden

Dies kann durch die Betrachtung des Sonderfalls α = β (bzw

também a = c) konsektiona. Natürlich β ∈ Supp L(β) ⊂ SuppM (1)(β), e porque γ ∼ β temos γ ∈ Supp L(β) ⊂ Supp M (1)(β)。 Daí ' β , γ ∈ Supp M (1)(b)' schluchzen eine Hypothese

β ∼ γ Nullbedingung. Ebenso kann nun die Bedingung „α ≡ β ≡ γ mod Zn“ erfüllt werden

’β ≡ γ mod Zn。 ,

Die Folgerung schreibt dies einfach um:

Siehe 5.4.4. 〈α〉 = {β ∈ t∗ | β ≡ α mod Zn e βi ∈ Z≥0 ⇔ αi ∈ Z≥0 ∀1 ≤ i ≤ r}。

5.5 Beispiele

Das Submodulgewicht von M(1)(α) und die letzte Angabe seines Submodulgewichts

Die Multiplikation des Quotienten L(α) enthält Aussagen über das Z-Gitter und Ungleichungsbedingungen,

Dies eröffnet die Möglichkeit, in t∗ auftretende Gewichte als Punkte in kn ∼= t∗ aufzuzeichnen

und beschreibe es dort geometrisch. Hier sind einige bessere Visualisierungen

Beispiel für Gittergewichte für die Beziehung M(1)(α) und ;α

e～。

Beispiel 5.5.1 (Tiny-Weyl-Algebra). Wir beginnen mit A = k[x, ∂] = ⊕α∈Z

Symbol (t) ·

x(α), t = Spanking {x∂}. Für jedes M (1)(α) ist SuppM (1)(α) = α + Z das Gewichtsnetzwerk, siehe

so was:

Abbildung 1: Gewichtetes Netzwerk für M(1)(α), α = 2,7

Das Problem, das wir untersuchen wollen, besteht darin, dass β, γ ∈ α + Z die Beziehung β;αγ erfüllt. Das

Bei der Wahl von a ∈ V (ker(φ)) = t∗ ∼= k müssen die folgenden zwei Fälle unterschieden werden

wird:

1. α /∈ Z: Zu diesem Zeitpunkt ist nur die Gitterbedingung und die Ungleichheitsbedingung festgelegt

leer. Daher erhält man immer das gleiche Bild: Es spielt keine Rolle, für welches β ∈ α+Z-Produkt

M(1)(α)(β) – stellt immer alle oder Module M(1)(α) wieder her.

0 aus

Abbildung 2: Gewichtsgitter für M(1)(α) mit α = 2,7 und Gewichten β = −1,3 – alle Gewichtsräume

werden; α

ankommen

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Wenn β nicht im α + Z-gewichteten Gitter liegt, dann ist M (1)(α)(β) = (0) und wir erhalten

Nur triviale Submodule.

0 aus

Abbildung 3: Gewichtsgitter für M(1)(α) mit α = 2,7 und Gewicht β = 1 – der Raum ohne Gewicht wird

passieren;

ankommen

Ohne echte Submodule gilt also β;αγ für alle β, γ ∈ α+Z.

2. α ∈ Z: Im zweiten Fall werden die Bilder vielfältiger. Hier α ∈ Z 'Aktivierung'

Bedingung der Gleichung kann folgende Situation entstehen: Spielen wir zu dritt

In der Abbildung wird die Wahrscheinlichkeit gewählt, dass α ≥ 0, beispielsweise α = 3. Hier

ist β ; αγ genau dann, wenn β < 0 und γ < 0. Hier entsteht also M (1)(α)(β).

Nichttriviale Untermodule.

0 aus

Abbildung 4: Gewichtsraster für M(α) mit α = 3 und Gewichtungen β = −2 – nicht alle Gewichtsräume

werden; α

implementieren und Sie erhalten ein nicht triviales Submodul (rosa)

Wenn andererseits β ≥ 0, ist die Ungleichungsbedingung ungültig und wir erhalten

alle oder Modul M (1)(α) für⊕γ∈Z

Aγ•M(1)(a)(b)。

0 aus

Abbildung 5: Gewichtsgitter für M(α) mit α = 3 und Gewicht β = 1 – jeder Gewichtsraum wird

passieren;

ankommen

Wenn β nicht im α+Z-gewichteten Gitter liegt, dann ist M(1)(α)β=(0) und das entsprechende

Submodule sind einfach:

Abbildung 6: Nettogewichte für M(1)(α) mit α = 3 und Gewicht β = 3,8 – keine Gewichte verwendet

b von by ; Der

ankommen

Überprüfen Sie abschließend, was passiert, wenn das Integral α < 0 ist – es ist anders

Es gibt nur wenige Fälle, in denen α ≥ 0 ist, daher werden sie nicht im Detail erläutert.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

0a b

Abbildung 7: Gewichtsraster für M(α) mit α = −2 und Gewicht β = 1 – nicht alle Gewichtsräume

werden; α

implementieren und Sie erhalten ein nicht triviales Submodul (rosa)

0ab

Abbildung 8: Gewichtsgitter für M(α) mit α = −2 und Gewichten β = −4 – jedes Gewicht ist gegeben durch

b von by ; Der

ankommen

0a b

Abbildung 9: Nettogewichte für M(1)(α) mit α = −2 und Gewicht β = 3,8 – kein Gewichtsraum

wird von b durch ?a

ankommen

Ein kurzer Blick auf eine andere Weyl-Algebra mit 1D „Cartan“:

Beispiel 5.5.2 (die zweitkleinste Weyl-Algebra).

Betrachten Sie hier A = k[x, x−1, ∂] = ⊕α∈Z

Sym(t) x(α), t = spank{x∂}. Auch für jedes M (1)(α)

Das Nettogewicht beträgt α + Z. Denn tatsächlich gilt die Ungleichheitsbedingung von Satz 5.4.2

wird per Definition nur für 1 ≤ i ≤ r und A = k[x, x−1, ∂] r = 0 aktiviert

Bei Fragen zu β;αγ sollten nur die Gitterbedingungen berücksichtigt werden. Daraus folgt β;

Yingshi

Genau für alle β, γ ∈ α + Z. Für Submodule, die durch M (1)(α)(β) erzeugt werden, ..

Zeigt an, dass sie (0) sind oder beide M(1) (α) sind. also nichts Außergewöhnliches

Submodul

Wir haben nun gesehen, dass jede Weyl-Algebra durch die Spannung der beiden Nebenalgebra modifiziert werden kann

Weyl-Algebren können miteinander verknüpft werden. Was bedeutet das für unsere Bilder mit Gewichtsrastern?

Beispiel 5.5.3 (eine etwas größere Weyl-Algebra). Schauen Sie sich das Bild hier an,

Das Ergebnis A = k[x1, x2, ∂1, ∂2] und t = spank {π1, π2}. Gesamte Beschreibung

Alle möglichen Fälle wären zu lang, daher werden hier alle Einstellungen weggelassen, weil

wobei A•M(1)(α)(β) Null oder alles ist (insbesondere konzentrieren wir uns auf α ∈ Z2):

Schließlich sind nur wirklich nicht triviale Submodule interessant.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

kπ1

kπ2

B 2

(a) α1 ≥ 0, α2 ≥ 0: Schicht α = (2, 3)

kπ1

kπ2

B 2

(b) α1 ≥ 0, α2 < 0: Schicht α = (0,−3)

kπ1

kπ2

B 2

kπ1

kπ2

b3 b2

(d) α1 < 0, α2 < 0: Schicht α = (−4,−3)

Abbildung 10: Gewichtungsnetzwerk für M(1)(α) und seine drei nichttrivialen wiederkehrenden Unterbewegungen

Der von M(1)(α)(βi) erzeugte Duln (nehmen Sie den βi jedes Quadranten als Beispiel).

In diesem Beispiel können Sie bereits sehen, wie der einfache Kopf L(α) in der oberen rechten Ecke stoppt,

Bei der Division das größte farbige Submodul. diese sind tatsächlich gerade

γ ∼ α, zusammen mit α im entsprechenden versunkenen Quadranten im Gewichtsgitter.

Daher unterteilen wir Z2 ⊂ t∗ in die folgenden Bereiche <α>:

kπ1

kπ2

Abbildung 11: Weyl-algebraische Gewichtsvernetzung in <α>-Regionen.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Beispiel 5.5.4 (eine weitere Weyl-Algebra).

Stattdessen ist der Graph von A = k[x1, x2, x−12 , ∂1, ∂2] und t = spank {π1, π2} etwas

andere. Obwohl t die gleiche Dimension hat und immer noch Netzwerk Z2 ist, wenn t∗ = k2, ist dies

Stellt die einzigen interessanten Untermodule bereit. Aber wie bereits in Satz 5.4.2 gesehen, in

In diesem Fall ist die weniger ungleiche Bedingung „aktiv“. Zum Vergleich zeichnen wir noch einmal

Dieselben Gewichte wie im Beispiel oben, um zu sehen, wann Sie

Füge ein x−1i hinzu.

kπ1

kπ2

(a) α1 ≥ 0, α2 ≥ 0: Schicht α = (2, 3)

kπ1

kπ2

(b) α1 ≥ 0, α2 < 0: Schicht α = (0,−3)

kπ1

kπ2

kπ1

kπ2

(d) α1 < 0, α2 < 0: Schicht α = (−4,−3)

Abbildung 12: Das Gewichtungsnetzwerk von M(1)(α) und seinen Submodulen für verschiedene Voreinstellungen

Alpha-Zeichensatz. Es gibt hier weitaus weniger unterschiedliche Submodule, da nur

Auch das Vorzeichen von β1 spielt bei der Beschreibung von Submodulen keine Rolle.

Hier sehen Sie, dass es im Vergleich zum Bild oben eine Ungleichheitsbedingung weniger gibt

ist aktiv: wenn der Gewichtsraum von β (des Gewichtsgitters) einen Untermodul erzeugt,

Dann zählt nur das Vorzeichen von β1, während das Vorzeichen von β2 bedeutet

Er wurde impotent. Versäumte Ungleichheiten äußern sich darin, dass weniger

Es erscheinen unterschiedliche reale Submodule, sodass man auch nur zwei nicht iso-

Deformierte einfache Module: In diesem Fall zerlegen wir Z2 ⊂ t∗ in verschiedene Teile

Bereich <α>.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

kπ1

kπ2

Abbildung 13: Gewichtsvernetzungsbereich für die Weyl-Algebra k[x1, x2, x−12 , ∂1, ∂2]

Hinweis 5.5.5. Es stellt sich jedoch heraus, dass diese <α>-Regionen unendlich viele Punkte haben

Beziehen Sie k2 so ein, dass Ihre Zariski-Grade alle k2 sind. Für jedes α ∈ t∗

Also <α> = k2, also ist <α> nicht mehr differenzierbar, obwohl in

Das Ergebnis ist eine so gute Aufteilung der Bereiche. Satz 3.2.17 sagt uns, dass

Für eine Weyl-Algebra A gibt es in A-grmod nur einen Nilifizierer einfacher Module. Das ist auch in Ordnung, da der Nullifizierer ein zweiseitiges Ideal in A ist, aber von was

Es existiert nur das Nullideal, da Weyl-Algebren nach Satz 5.1.9 einfach sind.

Als nächstes müssen wir daher nach anderen, interessanteren Algebren suchen.

Erstelle einen Vernichter. Wenn wir unsere Weyl-Algebra ein wenig modifizieren, werden wir etwas finden.

5.6 Algebra Bχ verallgemeinerter Weyl-Algebren

In diesem Abschnitt beschreiben wir, was mit einer verallgemeinerten Weyl-Algebra A passiert, wenn

Es erfolgt ein Übergang zu einer Bχ-Algebra. Lassen Sie uns insbesondere untersuchen, wie Regionen

<α> in V(ker(φ)). Dazu benötigen wir V (ker(φ)) und das Gewichtsnetzwerk Supp (Bχ)

beschreiben. Aber lassen Sie uns zunächst kurz skizzieren

Enthält Informationen über die unveränderte Weyl-Algebra (siehe

sich darauf für Transformationen stützen zu können, anstatt den Überblick zu verlieren).

Bemerkung 5.6.1 (Überblick über die Weyl-Algebra A).

• Aufbau:

– A = k[x1, . . . xr, x±1r+1, . . . , X

±1n , ∂1, . . . , ∂n]

– t = Παρμά 达 {π1, . . . , πn | πi = xi∂i}– φ = inkl : t→ A– Sym(t) = A0 = k[π1, . . . , πn]

– α ∈ t∗ entspricht ma ⊂ Sym(t),

ma = ker(α) = (π1 − α(π1), . . ., πn − α(πn))

• Gewicht von A = ⊕

α∈t∗ Aα bildet ein Netzwerk:

Supp (A) = Zn ⊂ kn ∼= t∗

• Die Gewichte der Module in O(p) sind in V (ker(φ)) = t* (Lemma 2.4.9).

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Wir legen nun einen Unterraum g ⊂ t fest. Wie in Kapitel 4 der Technik beschrieben, können Sie jetzt

Zuerst die Unteralgebra

Ag = {a ∈ A | [φ(g), a] = 0}

Die Invariante von A unter der Wirkung des Unterraums g ⊂ t von

dann der Mittelsmann

Bx = Ag/(g− x(g))

wobei χ ∈ g∗. Die folgende Übersicht basiert auf dem technischen Kapitel 4.4

Die Bχ-Eigenschaft gilt für Weyl-Algebren.

Hinweis 5.6.2 (Bχ-Übersicht).

• Aufbau:

– Bx = Ag/(g− x(g))Ag

– t := 美荐树 {π1, . . . , πn | πi = xi∂i}– φ = proj ◦ inkl : t→ Ag � Ag/(g− χ(g))

– Sym(t) = k[π1, . . . , πn]

– α ∈ t∗ entspricht ma ⊂ Sym(t),

ma = ker(α) = (π1 − α(π1), . . ., πn − α(πn))

• Gewicht von Bχ = ⊕

Nach Lemma 5.3.7 bildet α∈t∗(Bχ)α ein Gitter:

Supp (Bχ) = Supp (Ag) = Zn ∩ V (g) ⊂ kn ∼= t∗

• Modulgewichte in O(p) entsprechen Lemma 2.4.9 in Kombination mit Lemma 4.4.5

Zeit

V (ker(φBχ)) = V (ker(incl)) ∩ V (g− χ(g)) = V (g− χ(g))。

Definition 5.6.3. Um <α>-Regionen, die mit A- oder Bχ-Algebren verknüpft sind, besser unterscheiden zu können, werden diese Regionen jetzt im Index mit der zugrunde liegenden Algebra gekennzeichnet.

zeichnet, auch 〈α〉Bχ oder 〈α〉A.

Uns interessiert immer noch die Region <α>Bχ innerhalb von V (ker(φBχ)) =

V(g − χ(g)). Nun wollen wir also den expliziten affinen Raum V(g − χ(g)) ⊂ t∗

beschreiben. Hierzu verwenden wir wie immer einen Identitätsnachweis.

t∗∼= kn

π*i 7→ nein

Und denken Sie daran nach Lemma 5.3.1

[πi, xj ] = δij · xj = π*j (πi) · xj

gilt, das heißt, π*j ist das Gewicht der Begleitwirkung t in xj ∈ A. Ebenso ist [g, xj ] =

π*j (g) xj . Wir definieren entsprechend

Definition 5.6.4 (spezielle Punkte in g* ⊂ t*). wir sitzen

ηi := π*i |g。

ηi ist das Gewicht der auf g beschränkten zusätzlichen Einwirkungen. Sie gelten für

Beschreibung von V (g − χ(g)):

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Motto 5.6.5. Anwendbar

V (g− χ(g)) = {α = (αi)i ∈ kn |n∑i=1

aiηi = x },

Hier werden kn und t∗ durch die Basis π∗1 identifiziert. . . , π∗n wird verwendet. Mann

α berücksichtigt ∈ kn oder ∈ t∗.

beweisen. Wie oft verwandeln Sie:

V (g− χ(g)) = {m ∈ m-Spec(Sym(t)) | g− χ(g) ⊂ m}∼= {α ∈ t∗ | g− χ(g) ⊂ ker(α)}= {α ∈ t∗ | α(g) = χ(g)}= {α ∈ t∗ | α|g = χ}∼= {(αi)i ∈ kn |

∑αiπ∗i |g = χ}

= {(α)i ∈ kn |∑

aiηi = x}。 ,

Somit ist V(g−χ(g)) eine Translation des Unterraums V(g) um χ. (Dieses V(g) ist tatsächlich

ist ein Unterraum von t*, wobei χ = 0 auch aus der obigen Darstellung abgeleitet werden kann

V (g− χ(g)) klar).

Hinweis 5.6.6. Ein praktischer Hinweis: Unter der Äquivalenz von t∗ und kn kann man

人auch α = ∑i ap

∗i und ηj =

∑i(ηj)iπ

∗i x =

∑i(x)iπ

＊Ich habe auf dieser Grundlage geschrieben.

Dann hat die Bedingung∑ni=1 aiηi = χ die Form (η1)1 。 . . (n)1

……

(η1)n 。 . . (n)n

· A'1

...

αn

(x)1

...

(x)n

Für χ = 0 bedeutet dies, dass α orthogonal zum durch die Linien gebildeten Unterraum gewählt wird

Das Array ist gestreckt. Da ηi nicht die Basis von t* oder gar g* bildet (Letzteres

aber erzeugen, siehe nächste Bemerkung), ist das Gleichungssystem mehrbestimmt.

Einstellung 5.6.7. einfach schreiben

V (g− χ(g)) = {α ∈ kn | h·a = x},

wobei η die Matrix ((ηi)j)i,j ∈ kn ist.

Beachten Sie 5.6.8. Es betrachtet {η1, ..., ηn} als vom gleichen Rang wie g. Weil g1, . . . gno zur Basis von g innerhalb von t sei, dann schreibe

Kirgisistan =

n∑j=1

gijpj.

Sei g∗1 , . . . , g∗k die duale Basis von g∗ und schreibe ηj auf dieser Basis:

ηj =

k∑i=1

cjig*i 。

Dann bewerben Sie sich

cji = ηj(gi) = π∗j (gi) = gij ,

Daher sind die Matrizen (cji)j,i und (gij)i,j zueinander transponiert und haben das Gleiche

Einstufung. Weil der Rang von (gij)i,j genau die Dimension von g oder g∗ und der Rang ist

(cji)j,i ist genau {η1, . . . , ηn}, ausgedrückt wie folgt. ηi erzeugt also g*.

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

5.7 Ein weiteres Beispiel

Jetzt berechnen wir ein weiteres Beispiel eines gewichteten Netzwerks, dieses Mal jedoch deformiert.

Vereinfachen Sie die Algebra Bχ.

Beispiel 5.7.1 (kleines Beispiel). Wir gehen von der Weyl-Algebra A = k[x1, x2, ∂1, ∂2] aus

außen. Dazu gehören t = spank{π1, π2}, sein Dual t∗ = spank{π∗1, π∗2} und das Gewichtsnetzwerk darin

Z2 ergibt die Weyl-Algebra A

(a) t erzeugt durch π1 und π2

p*1

p*2

(b) t∗ wird aus π∗1 und π∗2 unter Verwendung des gewichteten Gitters Zπ∗1 + Zπ∗2 generiert

Abbildung 14: Ausgangsfall von A = k[x1, x2, ∂1, ∂2]

Nun wählen wir einen Unterraum g ⊂ t, nehmen an, dass g = spank {π1 − 2π2} ist, und drücken aus

π1 − 2π2 hat nun g. Unter πi 7→ π∗i können wir g∗ ⊂ t∗ als die Spanne von λ := π∗1 − 2π∗2 verstehen.

In diesem Sinne ist ηi = π*i |g ∈ g* = spank {g*} der Form η1 = 15λ, η2 = − 2

5λ. für ein Foto

Es sieht aus wie das:

(a) Der durch g g ⊂ t erzeugte Unterraum (zusammengerollt)

p*1

p*2

europäische Union

(b) Unterraum g∗ ⊂ t∗ erzeugt durch λ und η1 und η2 (Kreise)

Abbildung 15: Wahl des Unterraums g erzeugt durch g = π1 − 2π2

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Außerdem entscheiden Sie

V (g) = {α ∈ t∗ | α(g) = 0} =

{(α1, α2) ∈ k2 | 1

5a1−2

5a2 = 0

}={

(a1,a1

2) ∈ k2

} und denken Sie daran, dass das Gewicht von Ag aus Beobachtung 4.4.3 jetzt bei Z2 ∩ V (g) liegt.

hinlegen:

Supp(Ag) = Z2∩V(g)。

Dabei entstand folgende Grafik:

p*1

p*2

Spannung (Gramm)

(a) Unterraum V (g) ⊂ t∗

p*1

p*2

V(g)∩Z2

(b) Schnittpunkt von V (g) und Z2

Abbildung 16: Bestimmung des Trägers Supp(Ag)=Z2∩V(g)

Nun wenden wir uns dem zentralen Quotienten Bχ zu. Dazu wählen wir χ ∈ g∗, sagen wir

χ = -λ. Nach Lemma 2.4.9 und Lemma 4.4.5 müssen wir unsere Region <α>Bχ at definieren

aus dem affinen Unterraum

V (g− χ(g)) =

{(a1, a2) | 1

5a1−

5a2 = -1

{(A'1,

a1 + 5

)}= V(g) +

(0,

) suchen. Ein anderes Foto:

p*1

p*2

V (g− χ(g))

(a) Affiner Unterraum V (g − χ(g))

p*1

p*2

V (g− χ(g))

(b) V (g − χ(g)) ∩ Z2 Teil

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

Denken Sie daran, da wir in Korollar 4.4.7 <α>Bχ = <α>A ∩ V(g − χ(g)) festgestellt haben

Wir wenden uns schnell der Beschreibung des Bereichs <α>A der natürlichen Weyl-Algebra A zu

Abbildung 11, Beispiel 5.5.3:

p*1

p*2

Abbildung 17: Weyl-algebraische Gewichtsvernetzung in <α>A-Regionen.

Jetzt müssen wir nur noch die beiden Bilder überlagern, um den <α>Bχ-Bereich zu erhalten

Erhalten Sie die deformierte Weyl-Algebra Bχ:

p*1

p*2

V (g− χ(g))

Endlich können wir den Bereich fertigstellen und erhalten – für verschiedene Elemente

α ∈ V (g− χ(g)) – das folgende Bild:

5 Verallgemeinerte WEYL-Algebren

p*1

p*2

p*1

p*2

p*1

p*2

p*1

p*2

p*1

p*2

p*1

p*2

Abbildung 18: <α>-Bereich vor und nach dem Schließen

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

6 Geometrische Beschreibung geschlossener Gebiete

nen 〈α〉Bχ bezüglich Bχ (Ableitung der Weyl-Algebra)

6.1 Allgemeine Ergebnisse für Netzpunkt-Zariski-Schließungen

aufstellen

Wir haben in den Beispielen des vorherigen Kapitels gesehen, dass dies im Fall von Weyl-Algebren der Fall ist

Anscheinend schleicht sich das Z-Raster in das Bild ein. Auch die Auswirkungen auf das Unternehmen sind offensichtlich

Gleichungsbedingungen mit Satz 5.4.3 – Abstrakter Bereich von Satz 3.2.17

Entsprechung zwischen geschlossenem Bereich und ursprünglichem Ideal

Nur die Form eines konvexen Polytops. Hier noch einige technische Aussagen

Konvexe Geometrien und Gitter, die später <α>Bχ-Regionen zugeordnet werden können.

Auf den ersten Blick mögen sie unauffällig erscheinen, aber im Nachhinein ist es genau das, was sie tun.

Regionale Intuition <α>Bχ wertvoller Dienst.

6.1.1 Konvexe Kegelgeometrie und technische Lemmata

Zunächst führen wir konvexe polyedrische Kegel ein. Die folgenden Sätze sind vollständig

[Oda88] leicht an unsere Bedürfnisse angepasst. Sie bilden nicht nur Techniker aus

Grundlagen, aber auch hilfreich für die Interaktion mit dem Verhalten unserer Basisgeometrie

re <α>Bχ Flächenvorwärmung. Sei K ⊂ R hier der Unterkörper (insbesondere unter Berücksichtigung

Dann ist K = Q), sei E ein endlichdimensionaler K-Vektorraum.

Definition 6.1.1 (konvexer Kegel). Ein konvexer Kegel ist eine Teilmenge von C ⊂ E, so dass

Summe c + c′ für c, c′ ∈ C und nichtnegative skalare Vielfache ac für c ∈ C und a ∈ K≥0

Wieder in C enthalten.

Dasselbe gilt für das Intervall K ≥ 0 für eine Teilmenge von E. Drunter ist

Ein Sonderfall eines endlichen Generatorsystems:

Definition 6.1.2 (konvexer polyedrischer Kegel). Die Teilmenge C ⊂ E, beschrieben als

C =

m∑i=1

K≥0ci :=

{m∑i=1

Wasser | alle ai's bei K ≥ 0

wird als konvexer polyedrischer Kegel bezeichnet.

Definition 6.1.3 (Bikonisch und Orthokonisch). Sei C ein Kegel (konvex oder

Konvexer polyedrischer Kegel).

• C∨ := {ε ∈ E∗ | 〈e, c〉 ≥ 0 ∀ c ∈ C} ist ein Doppelkegel

• C⊥ := {ε ∈ E∗ | 〈ε, c〉 = 0 ∀ c ∈ C} ist ein orthogonaler Kegel

Diese Definition ist auch für jede Menge C ⊂ E sinnvoll, nicht nur

Kegel!

Hier sind zwei kleine Beispiele dafür, wie C∨ und C⊥ aussehen könnten (Identifizierung von E

E* unter <−,−>):

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

CC∨

C⊥

(a) Ein Polyederkegel (blau), dessen Doppelkegel

(grau) und orthogonale Kegel (rot)

CC∨

C⊥

(b) Ein polyedrischer Kegel (blau), dessen Doppelkegel

(grau) und orthogonale Kegel (rot)

Abbildung 19: Ein weiterer Polyederkegel (blau), sein Doppelkegel (grau) und der Orthokegel

(verrotten)

C∨ kann auch als die Menge der Halbräume angesehen werden, die C: für jedes ε ∈ E∗ enthalten

definiert den Halbraum aller Elemente von E, wobei ε einen nichtnegativen Wert annimmt.

Liegt C in diesem Halbraum, dann ist ε in der Menge C∨ enthalten!

Die Binarisierung von Kegeln hat folgende Eigenschaften:

Satz 6.1.4 (Dualitätssatz). Geeignet für konvexe polyedrische Kegel

(C∨)∨

= C

und das Motto von Farkas:

C∨ ist wieder ein konvexer polyedrischer Kegel.

beweisen. Siehe [Ful93, Kapitel 1.2]. ,

Sie können auch Punkt-zu-Punkt hinzugefügte Kegel „hinzufügen“: C1 + C2 := {c1 + c2 | c1 ∈ C1, c2 ∈ C2}. Definieren Sie −C := {−c | c ∈ C}. diese sind natürlich

Wieder verjüngt. Die K-Spannweite eines Kegels wird mit KC geschrieben. Dann ist KC = C + (−C).

Motto 6.1.5. Für das Dual der Summe gilt: (C1 + C2)∨

= C1∨∩C2

∨.

Gerichtsverhandlung.

(C1 + C2)∨

= {ε ∈ E∗ | 〈ε, c〉 ≥ 0 ∀ c ∈ C1 + C2}= {ε ∈ E∗ | 〈ε, c1〉+ 〈ε, c2〉 ≥ 0 ∀ c1 ∈ C1, c2 ∈ C2}= {ε ∈ E∗ | 〈ε, c1〉 ≥ 0 e 〈ε, c2〉 ≥ 0 ∀ c1 ∈ C1, c2 ∈ C2}= C1

∨∩C2∨。 ,

Definition 6.1.6 (Innenraum und Kontur eines Kegels).

• int C := das (relative) Innere des Kegels: Dies ist das Innere von C, konzeptualisiert in K-

C-Erweiterung der Standard-Kdim(KC)-Topologie, von der die Unterraum-Topologie geerbt wurde

Rdim(KC)-Standardtopologie. Der Name „relativ intern“ leitet sich daher ab

Es wird nur der Referenzraum KC, nicht der gesamte umgebende Vektorraum E verwendet.

Das bedeutet, dass auch niedrigdimensionale Kegel Innenräume haben.

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

• ∂C := C \ int C ist der (gegenüberliegende) Rand des Kegels.

Bemerkung 6.1.7 (Seiten polyedrischer Kegel). Wenn C ein konvexes Polyeder ist

Gel, die Kante eines Kegels kann als Vereinigung seiner Seiten beschrieben werden: C∩{ε}⊥

ist eine Kegelfläche mit ε ∈ C∨, dem Schnittpunkt von C mit einer der Seiten

Der Halbraum, der unser C enthält (siehe Definition von C ∨ – das ist die „Grenze des Halbraums“

Nur Hyperebenen mit <ε,−> = 0). Hinweis: Wir nennen einfach C ∩ {ε}⊥ a

Fläche, wenn C ∩ {ε}⊥ ( C - dann darf ε nicht in C⊥ sein.

Die folgenden Sätze entsprechen [Oda88, Lemma A.4, i-iii]:

Vorschlag 6.1.8. Sei C ein konvexer polyedrischer Kegel. Sei c ∈ C. Die folgende Aussage ist

gleich:

i) c ∈ int C liegt innerhalb des Kegels.

ii) 〈ε, c〉 > 0 für jedes ε ∈ C∨ \ C⊥ ⊂ E∗。

iii) C∨∩{c}⊥ = C⊥。

Gerichtsverhandlung.

(i) ⇒ (ii): Für ε ∈ C ∨ gilt immer <ε, c> ≥ 0. Angenommen, es gibt einige ε ∈ C∨ \C⊥ und <ε, c> = 0 für

Unser c ∈ C. c liegt auf {ε}⊥, also auf der Fläche C∩{ε}⊥, also auf dem Rand

des Kegels - auch c /∈ int C!

(ii) ⇒ (iii): Wenn <ε, c> > 0 für alle ε ∈ C∨ \ C⊥ ⊂ E∗, dann gilt unter diesen ε ∈ C∨,

Senkrecht zu c sind nur solche von koC möglich: C∨∩{c}⊥⊂C⊥. Europa

Eine weitere Inklusion ergibt sich aus der trivialen Inklusion C⊥ ⊂ C∨ und C⊥ ⊂ {c}⊥.

(iii) ⇒ (i): Wenn unser c nicht innerhalb des Kegels C liegt, dann liegt es auf der Seite C ∩ {ε}⊥,

Für ein geeignetes ε∈C∨, also ε∈{c}⊥. Gemäß unserer Definition von Flanken ist ε

Aber es ist nicht in C⊥ . Die Existenz von ε zeigt also, dass C∨∩{c}⊥6=C⊥. ,

Auf diese Weise werden die notwendigen Zutaten gesammelt, um unsere gewünschte Technik zu erreichen.

Mottoadresse. Es ist in [MVdB98, Lema 7.1.1] zu finden.

Motto 6.1.9. Sei K⊂R das Unterfeld und E der endlichdimensionale K-Vektorraum. werden

λ1, . . . , λm ∈ E*. Dann lässt sich λ vollständig in zwei Felder T := {1, . . . ,m} = zerlegen

Partitionieren Sie I∪J so, dass ∃e ∈ E, q = (q1, . . . , qm) ∈ Km und

•m∑i=1

qiλi = 0

• <λi, e> = λi(e) =

{> 0, fur i ∈ I= 0, fur i ∈ J

• Gas =

{= 0, fur i ∈ I> 0, fur i ∈ J

beweisen. Lassen Sie uns zunächst definieren

W :=∑i

K≥0λi ⊂ E∗ Positive Spanne von λi (d. h. Kegel),

H := W ∩ (−W ) oder der größte Unterraum von W,

C := W∨ := {x ∈ E | 〈w, x〉 ≥ 0 ∀w ∈W} ⊂ E do cone duplo,

C⊥ := {ε ∈ E∗ | 〈ε, x〉 = 0 ∀x ∈ C} ⊂ E∗。

Daraus folgt, dass H = C⊥, da

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

• C∨ = (W∨)∨ = W：

Dies entspricht dem Dualitätssatz 6.1.4.

• C⊥ ⊂ H = C∨ ∩ (−C∨): ε ∈ C⊥ bedeutet <ε, C> = 0, also <±ε, C> ≥ 0, was in ist

Die Definition impliziert ±ε ∈ C∨, also ε ∈ C∨ ∩ (−C∨).

• H ⊂ C⊥: ε ∈ H = W ∩ (−W ) bedeutet, dass ±ε ∈ W existiert. Daher gilt für alle x ∈ C

<ε, x> ≥ 0 und gleichzeitig <−ε, x> ≥ 0, d. h. <ε, x> = 0 für alle x ∈ C. Daher ist ε ∈ C⊥.

Nun ist {λ1, . . . , λm} = {λi | λi ∈ C⊥} ∪ {λi | λi ∈ C∨ \ C⊥}. Nutzen Sie diesen Sektor, um

Teilen Sie den Indexsatz in I und J auf:

j = {j | λj ∈ C⊥}I = {i | λi ∈ C∨ \ C⊥}

Nun gilt nach Proposition 6.1.8 für jedes e ∈ int (C) ⊂ C ⊂ E, dass <λi, e> > 0 für alle

i ∈ I sowie 〈λj , e〉 = 0 fur j ∈ J :

Das erste entspricht genau der Schlussfolgerung> 0 für alle c ∈ C∨ \C⊥. Letzteres stammt aus

C∨ ∩ {e}⊥ = C⊥ 3 λj für alle j ∈ J seitdem λj ∈ {e}⊥, also <λj , e> = 0.

Wählen Sie nun die passenden Koeffizienten q1, . . . , qm: Für j ∈ J gilt dies auch

K≥0(−λj) ⊂W , weshalb

-λj =

m∑k=1

pjkλk und pjk ≥ 0, oder

0 =

m∑k=1

qjkλk qjk ≥ 0, qjj > 0。

Das Zusammenfassen von j ∈ J ergibt

0 =∑j∈J

m∑k=1

qjkλk =

m∑k=1

qkλk mein qk :=∑j∈J

qjk

{> 0, k ∈ J≥ 0, k ∈ I。

Das ist weil

0 = <0, e> =

m∑k=1

qk〈λk,e〉=∑i∈I

qi︸︷︷︸≥0

〈λi, e〉︸︷︷︸>0

+∑j∈J

qj 〈λj , e〉︸︷︷︸=0

Bei Bedarf ist qi = 0 für alle i ∈ I. ,

6.1.2 Konvexe Kegel und Netzkegel

Bei der Beschreibung des Bereichs <α>Bχ von Weyl-Algebren spielen nicht nur Kegel eine Rolle,

Dies entspricht in unserem Fall der Ungleichheitsbedingung. Tatsächlich müssen wir

Bringen Sie zum Schluss das durch die Gewichte gebildete Netz an. Zuerst gießen wir sie

Siehe Definition:

Definition 6.1.10 (Gitter).

• Netzwerk: Das (vollständige) Z-Netzwerk L in kn ist die Z-Spanne der Basis w1, … . . . , kn of wn:

L = spanZ (w1, . . . , wn) ⊂ spank (w1, . . . , wn) = kn。

Dies ist die additive Untergruppe von kn.

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

• Vollständiges Teilnetz: Eine Teilmenge L′ ⊂ L ⊂ kn heißt vollständiges Teilnetz, wenn

L' = spanZ (v1, . . . , vn) e dim(L') = dim(L) = n。

Dabei wird die Dimension des Netzwerks als Dimension der erweiterten Entität definiert.

kn-Raum (also v1, . . . , vn ∈ L ist wieder eine Basis und L' ist eine Untergruppe

von).

Beispiel 6.1.11 (Standardbeispiel).

Das kanonische Z-Gitter ist durch L = spanZ(e1, . . . , en) gegeben, wobei ei = der i-te Einheitsvektor ist.

Eines der vollständigen Teilnetze besteht zB aus L'=spanZ(v1,...,vn) und vi=2ei.

Vorschlag 6.1.12. Sei K = Q und E der Q-Vektorraum. Sei L ⊂ E das vollständige Netzwerk Z.

Sei q = (q1, . . . , qm) ∈ Qm und λ1, . . . . . , λm ∈ E∗ zerlege T = {1, . . . ,m} = I∪Ja, wie oben.

Definition

C := {x ∈ E | 〈λi, x〉 = λi(x) ≤ qi ∀i ∈ T}

elektronisch

E′ :=⋂j∈J

ker(λj)

so was

C ′ := {x ∈ E | 〈λj , x〉 = λj(x) ≤ qj ∀j ∈ J}。

also folgen

i) C ′ ∩ (L+ E′) ist eine endliche Vereinigung von Übersetzungen von E′.

ii) C∩L = C′∩(L+E′).

Bevor wir mit dem Beweis beginnen, machen wir zwei illustrative Beobachtungen.

dieses Argument.

Beachten Sie 6.1.13 (beachten Sie E' als Schnittpunkt von Hyperebenen). das Zimmer ist

Der Satz ist der Schnittpunkt der Kerne von λj bis j ∈ J. Diese Kerne sind Unterräume

Dimension dim(E)−1, die Hyperebene auf E (unter Verwendung der Äquivalenz von E und E∗).

Auf <−,−> ist λj ein Vektor senkrecht zur entsprechenden Hyperebene. und ist

Das heißt, der Schnittpunkt dieser Hyperebenen.

Bemerkung 6.1.14 (Visualisierung von C′∩(L+E′)). L+E' kann betrachtet werden als

Wir nehmen ein Netzwerk L und kleben an jeden Punkt des Netzwerks ein Leerzeichen E'. es ist danach

Zuvor wurde eine Hyperebene beobachtet. Später diese Anordnung

Schneidet den durch die Ungleichungsbedingung definierten polyedrischen Kegel C'. Lüge

Allerdings gibt es irgendwann auf dem Gitter in C' auch eine vollständige Kopie von E'

Bin einfach an diesem Punkt hängengeblieben. Das ist weil

E′ =⋂j∈J

ker(λj) = {x ∈ E | 〈λj , x〉 = λj(x) = 0 ∀j ∈ J}

Das ist. Daher wird bei der Prüfung geprüft, ob der Gitterpunkt +E' in liegt

C′ = {x ∈ E | 〈λj , x〉 = λj(x) ≤ qj ∀j ∈ J}

enthalten ist, wird nur <λj ,Netzwerkpunkt> ≤ qj überprüft. folgen

C′∩(L+E′)=(C′∩L)+E′。

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

beweisen. i) C ′ ∩ (L+ E ′) ist eine endliche Vereinigung von verschobenem E ′:

Betrachtet man den Graphen der Karte C′ ∩ (L + E′) → QJ, so zeigt sich einerseits

Das Bild besteht nur aus einer endlichen Anzahl von Punkten, andererseits aber auch aus jedem Prototyp

Sieht aus wie eine Übersetzung von E'.

Definieren Sie f : C ′ ∩ (L + E ′) → QJ x 7 → (λj(x))j∈J . Dieses Bild ist diskret und

endlich, also endlich:

• Diskret: Der Graph von f ist f(C ′ ∩ (L + E′)) = f(C ′ ∩ L): am Ende ist er es

Nach Definition von C' ist E' ⊂ ker(f) und C' = C' + E'. Für c = l + e ∈ C ′ ∩ (L + E′) gibt es ein c ∈ C ′ und l = c − e = c ∈ L ∩ C ′. Du bist so

Für jedes f(l + e) ∈ f(C ′ ∩ (L+ E′)) elementweise, wobei

f(l + e) = f(l) ∈ f(C ′ ∩ L)。

Da f rational ist, besteht das gitterbasierte Bild von L aus der rationalen Basis

Das pk-Punktbild f(L) ist daher im Kompressionsmodus Z enthalten

Netz mit Kompressionsfaktor = kleinstes gemeinsames Vielfaches des Nenners

geschehen. Dies ist in E diskret.

• Begrenzt: Nach der Definition von C ′ liegen alle oberen Schranken bei λj(x) ≤ qj

j ∈ J , die Untergrenze ist durch λj = − 1cj gegeben

∑k∈J,k 6=j ckλk em

λj(x) = − 1

∑k∈J,k 6=j

kλk(x)

≥ − 1

∑k∈J,k 6=j

Hust hust.

Die Faser von f ist eigentlich die Übersetzung von E':

f−1((λj(x))j) = {x′ ∈ C ′ ∩ (L+ E′) | λj(x′) = λj(x) ∀j ∈ J}= {x′ ∈ C ′ ∩ (L+ E′) | λj(x′ − x) = 0 ∀j ∈ J}= {x′ ∈ L+ E′ | λj(x′) ≤ qj e λj(x

′ − x) = 0 ∀j ∈ J}= {e′ + x ∈ L+ E′ | λj(e′ + x) ≤ qj 且 λj(e

′) = 0 ∀j ∈ J} in e′ := x′ − x

= {e′ + x ∈ L+ E′ | λj(e′) = 0 ∀j ∈ J},denn λj(e

′ + x) = λj(x) ≤ qj Angenommen,

= {e′ ∈ (L+ E′)− x | e′ ∈ E′} + x

= ist + x,

Da 0 ∈ (L+ E′)− x und x selbst in L+ E′ liegt

und führend E′ ⊂ (L+ E′)− x.

Dies zeigt die erste Aussage des Satzes.

ii) C∩L = C′∩(L+E′):

Die Einbeziehung von C ∩ L ⊂ C ′ ∩ (L + E′) ist klar, da C ⊂ C ′ und L ⊂ L + E′ gelten. uns

Benutzen Sie nun wieder die Abbildung f aus Teil (i): C ′∩ (L+E′) → QJ. Eingeschränkt

In C ∩ L ändert sich nichts an Ihrem Bild:

• f(C ∩L) = f(C ′ ∩ (L+E′)): Seis l+ e′ ∈ C ′ ∩ (L+E′) mit l ∈ L und e′ ∈ E′. Sie geben

Das ist

f(l + e) = (λj(l + e))j∈J = (λj(l))j∈J ,

Weil λj(e') = 0 für alle e' ∈ E'. Jetzt müssen wir den Gitterpunkt l so verschieben

In C∩L wird der Wert von f(l) nicht geändert, um das Originalbild zu erhalten

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

Finden Sie, was bereits in C∩L ist. Denn das ist das Erste, was man bedenken muss

und Lemma 6.1.9 mit der Eigenschaft

〈λi, e〉 = λi(e) =

{> 0, fur i ∈ I= 0, fur i ∈ J

Wählen Sie durch die Punkte mit demselben Attribut auf dem Gitter L aus

Insbesondere ändert diese neue Version nichts am Wortlaut von Lemma 6.1.9. Das ist es

Wahrscheinlich, weil e ∈ E = spanQ {Netzwerkbasis} rationale Koordinaten

Skalieren Sie auf dem Z-Raster (behalten Sie das Schild oben bei)

Könnte es sein. Nun ist f(l+ Ze) = f(l), weil λj(e) = 0 für alle j ∈ J durch Konstruieren

e, während Punkte der Form l ± Me für M ∈ N tatsächlich erfüllen

in L. Es bleibt nur noch, M in l−Me groß genug zu wählen, um λi(l−Me) ≤ cifur für alle i ∈ I zu erreichen. Die Ungleichung λ(l −Me) ≤ cj für alle j ∈ J ist

ist ohnehin erfüllt, also ist l −Me der gesuchte Prototyp in C ∩ L .

• Wir zeigen nun, dass für ξ ∈ im(f) die Menge f−1(ξ) ∩ (C ∩ L) Zariski-dicht ist

f−1(ξ) ist: Für das Urbild f−1(ξ) gilt f−1(ξ) = x + E′ für ein x ∈ f−1(ξ), d. h. es ist

(x+ E′) ∩ (C ∩ L) dichtes em x+ E′

Ausstellungsstück. Stattdessen werden hier die entsprechenden Anweisungen angezeigt.

E′ ∩ (C − x) ∩ (L− x) ist dichter als E′,

Dies ermöglicht die Anwendung von [VdB91, Lemma 3.4] (da x ∈ f−1(ξ) als Gitter

Optional gilt L−x = L). Es besagt, dass der Abschnitt C∩L des Kegels

C = {y ∈ E | 〈λi, y〉 ≤ ci ∀i ∈ I} hat genau dann ein vollständiges Gitter L ⊂ E, wenn es dicht ist

Auf E, wenn es ein e ∈ E mit <λi, e> < 0 für alle i ∈ I (in allen Q) gibt. Mann

so definiert

E := das ist es

L := E′ ∩ LC := {y ∈ E | 〈λi, y〉 ≤ ci − 〈λi, x〉 ∀i ∈ I}

und prüfen Sie, ob die Annahmen des Lemmas erfüllt sind:

– L ist ein vollständiger Verband auf E: Wir müssen ein v ∈ E im Q-Bereich sehen

L = E′ ∩ L. L enthält E. Das bedeutet, dass v ∈ E ⊂ E selbst

Basierend auf dem Netzwerk l1, ..., ln liegen die Koeffizienten in Q.

Wenn man v mit dem Nenner kgV multipliziert, erhält man einen Gitterpunkt

auf L∩E. Dies zeigt, dass v im Q-Bereich von L liegt, sodass L ein vollständiger Verband ist

E、

– Für alle i ∈ I gibt es ein e ∈ E mit <λi, e> < 0: Diese Rolle wird durch e := −e erfüllt

e, das Lemma 6.1.9 erfüllt (angewendet auf E, {1,...,m} = I).

• Daraus folgt, dass C ∩ L = C ′ ∩ (L + E′): wie in Punkt (i) gezeigt, ist es so

Die endliche Faservereinigung f−1(ξ) von C ′∩ (L+E′) f. Wenn wir also schlussfolgern, dass C ∩Lab, können wir dies allein für den endlichen Schnitt f−1(ξ) ∩ (C ∩ L) tun.

und benutze das letzte Bit, um zu bekommen

C∩L=⋃

Viele endliche ξ

f−1(ξ) ∩ (C ∩ L) =⋃

Viele endliche ξ

f−1(ξ) = C ′ ∩ (L+ E ′),

Was zeigen. ,

Nach den 90ern

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

Eine etwas vage Person kann im Beweis erkennen, dass beim Ausschalten von C∩L Folgendes geschieht

Es passiert:

• Die Ungleichheitsbedingung von C ist in zwei Felder I und J unterteilt.

• Diese J Ungleichheitsbedingungen – auf einem geeigneten Unterraum von E –

eingeschränkt – beschreibt ein eingeschränktes Polyeder, das die Vollendung überlebt

Holen und geben Sie C'. Es enthält endlich viele Gitterpunkte von L.

• Andere Ungleichheitsterme gehen beim Schluss verloren, weil in

Im zugehörigen Halbraum gibt es unendlich viele Gitterpunkte.

• Dazu wird E' an die endlichen Punkte des Polyedergitters geklebt.

• Der gesamte C ∩ L-Teil wird nur mit Hilfe von λj , qj (j ∈ J) beschrieben.

Hinweis 6.1.15. Also bewerben Sie sich

L∩C=

p⋃i=1

(E′ + δi)

Für eine endliche Anzahl von δi ∈ E repräsentieren sie jede Kopie von E'. es gilt die gleiche Aussage

Das Gleiche gilt natürlich auch für um α ∈ E versetzte polyedrische Kegelgitterkonfigurationen:

L∩C+α=L∩C+α=

p⋃i=1

E' + (δi + α)。

Hinweis 6.1.16. Zu diesem Zeitpunkt ist δi nur ein zufälliger Vertreter von

Die entsprechende Kopie von E'. In zukünftigen Anwendungen wird es sehr spezifische Auswahlmöglichkeiten geben

er weiß.

Darüber hinaus lassen sich aus dem Satz die folgenden zwei Schlussfolgerungen ziehen:

Folgerung 6.1.17. Für x ∈ L folgt

(x+ C ∩ L) ∩ (C ∩ L) = x+ C ∩ L ∩ C ∩ L

Programmtheorie.

beweisen. Siehe [MVdB98, Korollar 7.1.4]. ,

Motto 6.1.18. Wenn C ∩ L Zariski-dicht auf E (dem Objekt im Satz) ist, dann gilt für

γ, β ∈ L: ∃α ∈ C ∩ L com α+ γ ∈ C ∩ L e α+ γ + β ∈ C ∩ L。

beweisen. Siehe [MVdB98, Lemma 7.1.5]. ,

6.2 Berechnung von 〈α〉Bχ In diesem Abschnitt beschreiben wir den Abschluss tatsächlich geometrisch

das Gebiet

〈α〉Bχ ⊂ V (g− χ(g)) ⊂ kn

passieren. Am wichtigsten ist, dass wir nur eine begrenzte Anzahl unterschiedlicher Fertigprodukte sehen möchten.

Bereich dort.

Hinweis 6.2.1. Es gibt nur eine begrenzte Anzahl ethischer Gründe

Es gibt einige Probleme: Je weniger aktive Ungleichungen vorhanden sind, desto mehr Ungleichheiten werden in die Schlussfolgerung eingeklebt.

Eine große Zahl aktiver Ungleichheiten geht jedoch mit Integritätsbedingungen einher,

Kann nur durch eine endliche Anzahl von Punkten gefüllt werden.

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

Von nun an gehen wir davon aus, dass g ⊂ t vernünftigerweise gegeben sein muss, nämlich

Definieren Sie die Koeffizienten in der Gleichung in Bezug auf die Standardbasis π1,. . . , πn muss dabei sein

Herr Q

Das Ergebnis ist folgendes Motto:

Motto 6.2.2. Seien g und V(g) ebenfalls rationale Zahlen, das heißt, ηi liegt in Qn. Dann

SuppBχ ist dicht in V(g).

beweisen. Aus Lemma 5.3.7 wissen wir, dass Supp Bχ = V (g) ∩ Zn. Dieses Raster erweitert sich

V(g), da eine Basis V(g) = {α ∈ kn | η α = 0} in Qn e - expand verwendet werden kann

kgv mit allen Nennern – findet auch eine Basis in Zn. Daraus folgt, dass V (g) ∩ Zn = V (g)

ist [VdB91, Lemma 3.4]. ,

In Erinnerung:

V (g− χ(g)) = {α = (αi)1≤i≤n ∈ kn |n∑i=1

aiηi = x}。

Somit ist für jedes α ∈ V (g−χ(g)) V (g−χ(g)) die Translation des Unterraums V (g) von kn

hat man

V (g− χ(g)) = α + V (g)。

Denken Sie hier auch an Folgerung 5.4.4, wonach

〈α〉A = {γ ∈ t∗ | γ ≡ α mod Zn e γi ∈ Z≥0 ⇔ αi ∈ Z≥0 ∀1 ≤ i ≤ r}

Für Regionen bzgl. A und Folgerung 4.4.7:

〈α〉Bχ = 〈α〉A ∩ V (g− χ(g))。

Wir werden diese Ergebnisse nun so umformulieren, dass sie auf polyedrische Kegel und Gitter passen

Passt zu der im vorherigen Abschnitt entworfenen Konfiguration. Zuerst nehmen wir

„Aktive Ungleichheit“-Indexsatz für <α>Bχ: αi ∈ Z tritt nur auf, wenn 1 ≤ i ≤ r −

Dann gelten die Ungleichheitsbedingungen für Punkte in <α>Bχ. Wir müssen diese Metriken trennen

Notiz. Somit ist für α ∈ V (g − χ(g)) eine Reihe von Indizes, die einen „Vermögenswert“ definieren

Ungleichheit'

Ta := {我 | 1 ≤ i ≤ r, αi ∈ Z}。

Die (vorläufige) Vorzeichenkonfiguration sα für α ist dann definiert als

sa ∈ {±1}Ta durchgehen

{(sa)i = +1 Ergebnis αi ≥ 0

(sa)i = −1 mit αi < 0.

Der zu α gehörende Koordinatenkegel ist

Δa := {γ ∈ t∗ | sgn (γi) = sgn (αi) für alle i ∈ Tα}= {γ ∈ t∗ | γi ≥ 0, 当 αi ≥ 0, γi < 0 当 αi < 0, 任 i ∈ Tα}。

Anwendbar

〈α〉A = {γ ∈ t∗ | γ ≡ α mod Zn} ∩ Δ

= (α+ Zn) ∩Δα。

Nun können wir die Region <α>Bχ wie folgt umschreiben:

〈α〉Bχ = 〈α〉A ∩ V (g− χ(g))

= (α+ Zn) ∩ ∆α ∩ (α+ V (g))

= (Zn ∩ V (g)) ∩ (∆α − α) + α

=：L∩C+a，

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

daher

L := Zn ∩ V (g)

C := Δa − a。

Um <α>Bχ zu bestimmen, verwenden wir Satz 6.1.12 (in diesem Satz uber

Arbeiten Sie an der Basisdomäne Q. Das bedeutet, dass wir zunächst den Abschluss von <α>Bχ,Q := bilden

〈α〉Bχ ∩ Qn bei t∗ ∩ Qn). für diesen Zweck

E := V (g) ∩ Qn

L := (Zn ∩ V (g))

T := ja

Europäische Union: =

{λi(u) = −ui, αi Z≥0

λi(u) = ui, cai αi ∈ Z<0

Gas :=

{αi, cai αi ∈ Z≥0

−αi − 1, cai αi ∈ Z<0,

Also tatsächlich:

C = {x ∈ E | λi(x) ≤ qi ∀i ∈ T}

(Tatsächlich sollte hier C∩Qn geschrieben werden, was zur Vereinfachung der Notation weggelassen wird.)

jetzt heißt es im Vorschlag

〈α〉Bx,Q − α = C ∩ L = C ′ ∩ (L+ E′)

com

C′ := {x ∈ E | λj(x) ≤ qj ∀j ∈ J}= {γ ∈ V (g) | γj ≥ −αj ⇔ αj ≥ 0 ∀j ∈ J} ∩ Qn,

E′ :=⋂j∈J

ker(λj)

= {γ ∈ V (g) | γj = 0 ∀j ∈ J ⊂ Tα} ∩ Qn

gilt, wobei die Indexmenge J dieselbe ist wie in Lemma 6.1.9.

Hinweis 6.2.3. Die zur Indexmenge J gehörende Ungleichung ist definiert als

Lemma 6.1.9 – Ein geeigneter Unterraum eingeschränkt auf V(g) – Eingeschränkt

Polyeder.

Hinweis: Im Folgenden verwenden wir immer I zur Bezeichnung aller anderen Indizes, I := {1, . . . , n} \ J und

ist nicht die entsprechende Indexmenge (d. h. Tα\J) aus Lemma 6.1.9.

Hinweis 6.2.4. Wählen Sie die Menge der Indizes J ⊂ Tα so, dass die „redundante“ Ungleichung entsteht

lässt die Bedingung weg, d. h. diejenigen Ungleichungen, bei denen <α>Bχ nur in eine Richtung geht

Schränken Sie sie ein, damit sie nach Abschluss nicht mehr sichtbar sind. Mach es nochmal

Beispiel zum Ausprobieren:

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

p*1

p*2

(a) Hier ist J = Tα = {1, 2}, weil die beiden Ungleichungen

brauche Gen

p*1

p*2

(b) Hier ist J = ∅, weil zur Ladenschlusszeit alle gehen

Verlust der Ungleichheit

Abbildung 20: Zwei Beispiele von J

Lassen Sie uns diese Gleichung umformulieren, um <α>Bχ while zu berechnen

Erhalten Sie einen prägnanteren Einblick in das Aussehen geschlossener Bereiche

bezieht sich auf die Methode zur Bestimmung des Parameters <α>Bχ. Wir erhalten folgendes Ergebnis:

Vorschlag 6.2.5 (Beschreibung umschlossener Bereiche). Sei α ∈ t∗. für

Der Abschluss einer Region <α>Bχ = Supp L(α), der Vektor einfacher Module L(α)

Bx, wir haben:

〈a〉Bx =

γ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜｜fur alle j ∈ J vergoldet γj ∈ Z,

γj ≥ 0 ⇔ αj ≥ 0,

γj < 0 ⇔ αj < 0

∩{γ ∈ V (g− χ(g))

‖‖‖‖ ∑j∈J γjηj ∈ ∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi}。

beweisen. wir hoffen

〈α〉Bx,Q − α = C ′ ∩ (L+ E ′)

= {γ ∈ V (g) ∩ Qn | γj ≥ −αj ⇔ αj ≥ 0 ∀j ∈ J}∩ ((Zn ∩ V (g)) + {γ ∈ V (g) ∩ Qn | γj = 0 ∀j ∈ J})

= {γ ∈ V (g) ∩ Qn | γj ≥ −αj ⇔ αj ≥ 0 ∀j ∈ J}∩ {γ ∈ V (g) ∩ Qn | ∃ δ ∈ Zn ∩ V (g) : γj = δj ∀j ∈ J}

γ∈V(g)∩Qn

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∃δ ∈ Zn ∩ V (g),

Für jedes j ∈ J gilt:

γj = δj ≥ −αj ⇔ αj ≥ 0,

γj = δj < −αj ⇔ αj < 0

Schließlich erhalten wir <α>Bχ − α als Abschluss von <α>Bχ,Q − α ⊂ kn über k. Einsteigen

Wenn wir die Darstellung von C ′ ∩ (L+E′) in Proposition 6.1.12 verwenden als

Eine endliche Vereinigung von Übersetzungen des Q-Vektorraums E', sehen wir seitdem

Nehmen Sie einfach den k-Abschluss jeder Übersetzung von E', was einfach ist

k ⊗ Q E′. zurück in andere Schreibweisen umzuwandeln, was bedeutet, dass wir einfach verwenden

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

Geänderter Körper:

〈α〉Bx − α =

γ ∈ V (g)

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∃δ ∈ Zn ∩ V (g),

Für jedes j ∈ J gilt:

γj = δj ≥ −αj ⇔ αj ≥ 0,

γj = δj < −αj ⇔ αj < 0

Hinweis 6.2.6. Beachten Sie, dass die Ungleichung trotz des Wechsels von Q zu k bestehen bleibt

Es macht immer noch Sinn, weil die δj-Koordinaten von j ∈ J ganzzahlig sein müssen.

Fügen Sie einfach α hinzu, um 〈α〉Bx zu erhalten:

〈a〉Bx =

γ ∈ V (g− χ(g))

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∃δ ∈ V (g− χ(g)) : δ ≡ α mod Zn,

Für jedes j ∈ J gilt:

γj = δj ≥ 0 ⇔ αj ≥ 0,

γj = δj < 0 ⇔ αj < 0

Hinweis 6.2.7. Auch hier machen die Ungleichungen Sinn, da die Koordinaten αj und

Die Koordinate δj mit j ∈ J ist ebenfalls ein Integral.

Die grundlegende Arbeit ist jetzt abgeschlossen, aber wir arbeiten an einer realistischeren Beschreibung

Also ordnen wir sie weiter um: Für j ∈ J gilt αj ∈ Z, also γj = δj ∈ Z, und auch

Das habe ich bereits in den Kommentaren gesagt.

〈a〉Bx =

γ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜｜fur alle j ∈ J vergoldet γj ∈ Z,

γj ≥ 0 ⇔ αj ≥ 0,

γj < 0 ⇔ αj < 0

∩

γ ∈ V (g− χ(g))

‖‖‖‖‖‖‖‖∃δ ∈ V (g− χ(g)):

δ ≡ α mod Zn, e für alle j ∈ J temos γj = δj ∈ Z

Die Baugruppe links ist bereits vorhanden, die Baugruppe rechts muss noch angepasst werden. Dafür ist es da

Das folgende Motto. ,

Lemma 6.2.8. Es giltγ ∈ V (g− χ(g))

dd dd ‖‖‖‖‖‖‖∑j∈J

γjηj∈∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi

Für alle j ∈ J gilt γj ∈ Z

γ ∈ V (g− χ(g))

‖‖‖‖‖‖‖‖∃δ ∈ V (g− χ(g)):

δ ≡ α mod Zn, e für alle j ∈ J temos γj = δj ∈ Z

beweisen. '⊂' enthält etwa Folgendes: Konstruiere ein γ mit

i) γ ∈ V (g− χ(g))

ii) γj ∈ Z für alle j ∈ J

iii) ∑j∈J

γjηj∈∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi, insbesondere∑j∈J

αjηj = ∑j∈J

γjηj+∑i∈I

ziηi mit geeignet

zi ∈ Z

Ein geeignetes δ ∈ V (g − χ(g)). wir wissen

x =

n∑k=1

αkηk = ∑j∈J

αjηj +∑i∈I

aiηi = ∑j∈J

γjηj +∑i∈I

(αi + zi)ηi

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

zi ∈ Z gilt, nun definieren

δk =

{γk fur k ∈ Jαi + zi fur k ∈ I。

Ein anderes, das „⊃“ enthält, kann wie folgt gesehen werden:

Eigenschaften, insbesondere δi − αi ∈ Z für alle i ∈ {1, . . . , n} und n∑k=1

δkηk = χ =n∑k=1

In Ordnung

ist ∑j∈J

γjηj = ∑j∈J

δjηj

=∑j∈J

αjηj +∑i∈I

(αi − δi)ηi

∈∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi,

Wie behauptet (natürlich gilt γj ∈ Z für alle j ∈ J). ,

Damit ist der Beweis abgeschlossen. Wir bestehen auf:

Hinweis 6.2.9. Hinweis: Die Bedingung „γj ∈ Z“ muss nur in einer der beiden Mengen enthalten sein

Erscheinen. Wir werden sie von nun an immer dem MJ-Set zuordnen.

Hinweis 6.2.10. Daher kann der geschlossene Bereich <α>Bχ als Schnittpunkt zweier Mengen definiert werden

beschrieben wird, eines davon, nämlich γ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜｜fur alle j ∈ J vergoldet γj ∈ Z,

γj ≥ 0 ⇔ αj ≥ 0,

γj < 0 ⇔ αj < 0

γ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜｜fur alle j ∈ J gilt γj ∈ Z,γj ≥ 0 fur alle j ∈ J+,γj < 0 fur alle j ∈ J−

völlig unabhängig vom spezifischen α. enthält nur die Vorzeichenkonfiguration für α, d. h.

j hat die Information, dass αj ∈ Z≥0 oder αj ∈ Z<0. - aber die Bedingung ist für

Alle α mit fester Vorzeichenkonfiguration sind gleich. Wenn jemand diese Signaleinstellung repariert

Danach werden keine weiteren Regionen mit unterschiedlichem α unterschieden.

Eine weitere Menge, γ ∈ V (g − χ(g))

dd dd ‖‖‖‖‖‖‖∑j∈J

γjηj∈∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi

Für alle j ∈ J gilt γj ∈ Z

Nach dem Beispiel von [MVdB98] sind jedoch unterschiedliche Regionen wahrscheinlich

Einige Signale sind unterschiedlich konfiguriert.

Basierend auf θ aus [MVdB98] werden wir die Äquivalenzklasse ∑j∈J verwenden

αjηj +∑i∈I

Zηi

Bezeichnet mit ϑ.

Einstellung 6.2.11. Seien α und J dieselben wie zuvor. Wir definieren J = J+∪J−, wobei J+ = {j ∈ J | αj ≥ 0} und J− = {j ∈ J | αj < 0} (hier wird auf den „redundanten Index“ geachtet!) und

Definition

Jordan :=

{γ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜ γj ∈ Z≥0 fur j ∈ J+,

γj ∈ Z<0 fur j ∈ J−

}Mϑ :=

{γ ∈ V (g− χ(g))

dd dd ∠ ∑j∈J γjηj ∈ ϑ :=∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi}

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

Daher ist <α>Bχ = MJ∩Mϑ. Nun berechnen wir die verschiedenen möglichen Regionen 〈α〉Bχ:

Erstens kann jedes α ∈ V (g−χ(g)) seine eigene Region <α>Bχ erzeugen. unsere Aufgabe

Es zeigt sich, dass nur eine begrenzte Anzahl unterschiedlicher Regionen auftritt. Für diesen Zweck

Wir haben es oben beschrieben.

Vorschlag 6.2.12. Es gibt nur endlich viele verschiedene geschlossene Bereiche 〈α〉Bχ.

Zur Veranschaulichung nutzen wir einen Trick aus [MVdB98]:

beweisen. Als erstes fällt uns auf, dass es nur eine begrenzte Anzahl möglicher Signalkonfigurationen gibt.

J = J+ ∪ J− ⊂ {1, . . . , n} kann existieren. Aber jedes α ist in einer Menge MJ, die

entspricht „Ihrer“ Symbolkonfiguration, wie wir gerade festgestellt haben

Es sind auch viele <α>Bχ darin. Wir müssen also nur zählen, wie viele verschiedene Mϑ

Bei gegebenem MJ müssen wir Residuen ϑ = ∑j∈J für verschiedene Klassen finden

αjηj +∑i∈I

Zηi

, wobei für alle j ∈ J+ αj ∈ Z≥0 und für alle j ∈ J− αj ∈ Z<0. Dafür ist es da

Es genügt zu sehen, dass es nur endlich viele verschiedene ∑j∈J gibt

αjηj wo

• αj ∈ Z für alle j ∈ J

• Es gibt µi und ∑j∈J

αjηj +∑i−1I

µiηi = χ (so dass auch alles von einem Punkt ausgeht

em V (g − χ(g)) vem)。

Tatsächlich ist es möglich, ein ψ ∈ g und eine Gleichung ∑j∈J zu konstruieren

αjηj +∑i−1I

miηi =

χ hat ∑j∈J

αj<ψ, ηj> + 0 = <ψ, x>

(Dafür gibt es nur endlich viele Lösungen αj ∈ Z, siehe unten).

Wie bereits erwähnt, liefert Satz 6.1.12 die Zerlegung der Exponentenmenge

Tα ist in „nützliche“ Indikatoren (bezeichnet mit J) und „nutzlose“ Indikatoren (alles andere) unterteilt. Aber

Darüber hinaus garantiert es auch die Existenz von Koeffizienten zk ∈ Q mit ∑k ∈ Tα

zkλk = 0

elektronisch

zj > 0 alle j ∈ J, zk = 0 son.

Setz dich jetzt hin

Simulation =

−zk fur k ∈ J+

zk fur k ∈ J−0 sonst

Und definieren Sie ψ ∈ g = (g∗)∗ als <ψ, ηk> := yk. Da ηk keine Basis hat, sondern nur eine

Für das g*-Generierungssystem muss überprüft werden, ob yk mit dem übereinstimmt

erfüllen ηi. Funktioniert auch, wenn ∑k=1

akηk = 0, also n∑k = 1

akyk = 0. Mas como (ak)k ∈ V (g)

Das heißt, 0 = ∑k∈Tα zkλk ∈ V (g)∗ kann darauf angewendet werden und das Ergebnis ist wie erwartet

n∑k=1

akyk = 0, wenn wir die Definitionen von yk und λk aufschreiben. Nun existiert ψ ∈ g in

Allgemeine Eigenschaften von Kokern [AF92, Satz 3.6]

0 ker ((ηk)k) t∗ = kn g∗ 0(ηk)k

ψ(y1, ..., em)

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

Wie unten angegeben ∑j∈J

αjyj = 〈ψ, χ〉

Für alle j ∈ J, αjyj ≤ 0 und αj ∈ Z, aber nur endlich viele Lösungen. ,

Beachten Sie 6.2.13. In beiden Fällen ist die Anzahl der Regionen <α>Bχ für einen gegebenen

Die Vorzeichenkonfiguration J = J+ ∪ J− ist immer 1 (solange es α ∈ V (g− χ(g)) mit dieser Vorzeichenkonfiguration gibt):

• J = {1, . . . , n}: Dieser Fall kann nur für die klassische Weyl-Algebra k[x1, . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n] verwendet werden

eingeben. Hier gilt Mϑ = V (g − χ(g)), also <α>Bχ = MJ, also genau

Region für eine bestimmte Signalkonfiguration. Darüber hinaus hat die Region

Da es hier nur endlich viele Punkte gibt, gilt auch <α>Bχ ( V (g − χ(g)). Dies geschieht

Auch in Beispiel 5.7.1.

• J = ∅: Hier erkennt man sofort, dass <α>Bχ = V (g− χ(g)).

Solche Überlegungen werfen auch folgende Fragen auf:

Es existieren einzelne Regionen <α>Bχ. [MVdB98, Proposition 7.2.5] gibt die Antwort darauf

Hier passen wir unsere Beschreibung von <α>Bχ an.

Vorschlag 6.2.14. Seien α, β in t∗ gegeben und seien Jα, Jβ die jeweiligen Signalkonfigurationen

Das Gleiche gilt für Rationen und ϑα, ϑβ. 〈α〉Bχ ⊆ 〈β〉Bχ genau dann, wenn

Jβ+ ⊆ Jα+Jβ− ⊆ Jα−ϑβ = ϑα mod

∑i∈Iβ

Zηi。

普罗瓦. De Jβ± ⊆ Jα± folgt MJα ⊆ MJβ , und ϑβ = ϑα mod∑i∈Iβ

Zηi folgt zuerst

α ∈ Mϑβ , also Mϑα ⊂Mϑβ , also die Summe

〈α〉Bχ = MJα ∩Mϑα ⊆ MJβ ∩Mϑβ = 〈β〉Bχ 。

Andersherum: Ist 〈α〉Bχ ⊆ 〈β〉Bχ bekannt, dann gilt em bestimmtes α ∈ 〈β〉Bχ = MJβ ∩ Mϑβ .

Da α ∈ MJβ gilt Jβ± ⊆ Jα± (also ist die Vorzeichenkonfiguration von α kleiner als

), weil durch die Konstruktion des Indexsatzes Jβ keine redundanten Indizes enthält, und

Dann kann es höchstens Tα = {i | 1 ≤ i ≤ r, αi ∈ Z} mit mehr Indizes als in auftreten

Jβ gehört zu den Ungleichungen, die beschränkte Polytope definieren (vgl. 6.2.3). außen

α ∈ Mϑβ ein abgeschlossenes ∑j∈Jβ

αjηj = ∑j∈Jβ

αjηj +∑i∈Iβ

Kind ηi

mit zi ∈ Z, woraus αj ∈ Z für alle j ∈ Jα die Identität ∑j∈Jβ

αjηj +∑

j∈Jα\Jbajηj =

∑j∈Jβ

αjηj +∑i∈Iβ

z′iηi

Kann ausgeschaltet werden (mit entsprechend angepasstem Koeffizienten z'i ∈ Z). Ich verstehe

Wille = θβ mod∑i∈Iβ

Zηi,

Damit ist der Beweis abgeschlossen. ,

Folge jetzt

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

Siehe 6.2.15. 〈α〉Bχ = 〈β〉Bχ genau dann, wenn

Jβ+ = Jα+

Jβ− = Jα−

θβ = tha mod∑

i∈Iβ=Iα

Zηi。

Es gilt immer noch, wenn wir Satz 3.2.17 einbeziehen

Folgerung 6.2.16. J(α) = J(β) genau dann, wenn

Jβ+ = Jα+

Jβ− = Jα−

θβ = tha mod∑

i∈Iβ=Iα

Zηi。

Bemerkung 6.2.17 (Link zur allgemeinen Hüllkurvenalgebra). Oben auf Korol-

lar erlaubt die Definition einer Äquivalenzrelation ≈ auf den Gewichten in t∗, so dass α ≈ β genau dann, wenn J(α) = J(β). Das ursprüngliche Ideal von A ist bijektiv

zur Äquivalenzklasse über ≈. Für g = sln gibt es so etwas wie

Hüllkurve: Hier ist eine Äquivalenzrelation ∼L in der Weyl-Gruppe W = Sn−1 definiert,

Die Äquivalenzklasse bezüglich ∼L heißt linke Zelle (siehe [KL79]). Dann stimmen Sie für die Bereitstellung von λ

das Integral ist, fallen die Nullifikatoren von L(w′ λ) genau dann zusammen, wenn w und w′

in derselben linken Zelle (siehe [Jan83, Theorem 5.25] für allgemeines λ und Details).

In unserem Fall wird die Äquivalenzrelation durch die Geometrie des Netzwerks beschrieben,

Der Mensch übersetzt ∼L in die Kombinatorik: Befehle mit Hilfe des Robinson-Schensted-Systems

Jedem Element der Weyl-Gruppe w ist die Form A(w) zugeordnet. Dann ist w ∼ L w′ genau dann, wenn

A(w) = A(w′) Ja [Jan.83, Kapitel 5.24].

6.3 Zusammenhangskomponenten von <α>Bχ Aus Satz 6.1.12 und Bemerkung 6.1.15 wissen wir auch, dass <α>Bχ beschrieben wird als

Endliche Vereinigung von Hyperebenentranslationen E′ = ⋂j∈J

ker(λj). diese Beschreibung

Wir wollen noch einen Schritt weiter gehen. Das folgende Motto stammt aus

Beweis von [MVdB98, Proposition 7.4.1]. Bei Verwendung der gleichen Notation wie zuvor

C, L usw. werden erwähnt.

Motto 6.3.1. Sei α ∈ V (g − χ(g)). Dann gibt es g ⊂ h ⊂ t und χi ∈ h, so dass

〈α〉Bχ = L ∩ C + α =

p⋃i=1

E′ + (δi + α) =

p⋃i=1

V (h− χi(h)),

wobei h := spank {λj | j ∈ J} (in Bezug auf die kanonische Identität (t*)* ∼= t, also

λj(γ) = γ(λj) para todos os γ ∈ t∗) e χi := (δi +α)|h。 Hier werden V (h−χi(h)) sowie V (g−χ(g))

Wie üblich um t*.

beweisen. Die erste Gleichung stammt aus dem letzten Abschnitt 6.2. zweite Gleichheit

Entspricht Anmerkung 6.1.15. h = spanking {λj | j ∈ J} enthält

E′ :=⋂j∈J

ker(λj)

= {γ ∈ t∗ | λj(γ) = 0 ∀ j ∈ J}= {γ ∈ t∗ | γ(λj) = 0 ∀j ∈ J} (nun λj em t)

= {γ ∈ t∗ | γ(h) = 0}= V(h) betrachtet in t∗,

6 Geometrische Beschreibung der geschlossenen Fläche 〈α〉BχFUR Bχ (aus WEYLALGEBRA)

V (h) = E′ ⊂ V (g) (also g ⊂ h). Also ist χi = (δi + α)|h wahr

E′ + (δi + α) = {β ∈ t∗ | β(λj) = 0 ∀j ∈ J} + (δi + α)

= {β + (δi + α) ∈ t∗ | (β + (δi + α))(λj) = (δi + α)(λj) ∀j ∈ J}= {β′ ∈ t∗ | β′(λj) = (δi + α)(λj) ∀j ∈ J}= {β′ ∈ t∗ | β′(h) = (δi + α)(h)}= {β′ ∈ t∗ | β′(h) = χi(h)}= {β′ ∈ t∗ | β′(h− χi(h)) = 0}= V (h− χi(h))。 ,

Beachten Sie 6.3.2 (Zusammenhangskomponenten von <α>Bχ). in der Demo

〈a〉Bx =

p⋃i=1

(χi + V(h))

Wir sehen, dass <α>Bχ genau p zusammenhängende Komponenten hat: V(h) ist zusammenhängend,

Und einzelne Übersetzungen überschneiden sich nicht paarweise. verbundenen Komponenten

Es stimmt daher mit der Übersetzung V (h − χi(h)) überein.

100

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebra (her-

aus Weyl-Algebren)

In diesem Kapitel ernten wir die Früchte der geometrischen Überlegungen des vorherigen Kapitels.

Genteil. Zunächst fassen wir alle grundlegenden Eigenschaften der Algebra zusammen

Bχ ist in Kombination mit seinem ursprünglichen Ideal eng mit der Geometrie verbunden

Eigenschaften der Region <α>Bχ. Anschließend geben wir eine kurze Einführung in das Thema.

Anschließend rechnet Goldierang – wiederum anhand der konkreten Beschreibung

Bereich - Goldiererg des ursprünglichen Händlers. wir bleiben bei unserem

Angenommen, g ⊂ t muss rational sein.

7.1 Das ursprüngliche Ideal

Nach der geometrischen Beschreibung der <α>Bχ-Region zunächst einige Erläuterungen

Sprechen Sie über Bχ und das ursprüngliche Ideal von Bχ – den einfachen modularen Bχ-Vernichter

- wird zusammengestellt. Zur Erinnerung: Diese primitiven Ideale können, weil

Betrachten Sie einfache Module in O(p) ⊂ Bχ-mod. und hat auch

Siehe die rein geometrische Beschreibung, die wir im vorherigen Kapitel untersucht haben

haben. Der folgende Vorschlag fasst diese Behauptungen noch einmal zusammen:

Satz 7.1.1 (Eigenschaften von Bχ). Wie zuvor sei Bχ = Ag/(g − χ(g)).

i) Bχ ist ein Integralkörper (nicht unbedingt kommutativ).

ii) Bχ ist primitiv.

iii) Jedes Primideal in Bχ hat die Form J(α) mit α ∈ V (g − χ(g)) und ist somit primitiv.

iv) Es liegt eine 1:1-Entsprechung vor

{ Regionen <α>Bχ ⊂ V (g− χ(g))} 1:1←→ { Primitive Ideale ⊂ Bχ}α↔ J(α)

v) Bχ hat nur eine endliche Anzahl primitiver Ideale.

vi) Wenn J ein fundamentales Ideal in Bχ ist, dann ist Jα = BχαJ0 + J0Bχα.

J ist 0 Mal gespawnt.

beweisen. i) Bχ ist ein Integralkörper (nicht unbedingt kommutativ):

• (Bχ)0 ist ein Integralkörper: vale (unter Verwendung von Lemma 2.4.13.vi

und 2.4.13.vii und die Gleichung Ag0 = Ag)

(Bx)0 = Ag0/(g− χ(g))Ag

0 = A0/(g− χ(g))A0 = Sym(t)/(g− χ(g))Sym(t)

Dies ist der ideale Quotient.

• (Bχ)γ = (Bχ)0 bγ = bγ (Bχ)0 ist frei erzeugt: (Bχ)γ ist hier ganz konkret angegeben

passieren

(Bx)γ = Agγ/(g− χ(g))Ag

γ siehe Lemma 2.4.13.vi

= Aγ/(g− χ(g))Aγ fur γ ∈ V (g), veja Bemerkung 4.4.3

bγ = aγ

Und Aγ = Sym(t) · aγ ⊂ A hat keine Nullfaktoren (siehe Proposition 5.1.9). nur

Antworten Sie, wenn para d ∈ Sym(t) o Produkt d · aγ em Sym(t)(g − χ(g)) · aγ

101

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Könnte es sein. Eindeutigkeit ergibt sich jedoch insbesondere aus der Tatsache, dass A nicht durch Null teilbar ist

Bezeichnet d aγ, so dass d aγ ∈ Sym(t)(g − χ(g)) aγ genau dann, wenn

d ∈ Sym(t)(g − χ(g)). Mit anderen Worten: (Bχ)γ ist tatsächlich linkslos

Erzeugt auf (Bχ)0. Das gleiche Argument gilt für Rechte. du kannst

Der Automorphismus auf (Bχ)0 ist übrigens durch d 7→ d'' in gegeben

bγ·(Bx)0 = (Bx)0·bγbγ·d=d′′·bγ。

• Beweisen Sie nun, dass bβ · bγ 6 = 0 für alle β, γ ∈ SuppBχ. uns wird es gut gehen

(ii) Siehe eine Zariski-dichte Region <α>Bχ in SuppBχ. wir wissen

aus Lemma 6.1.18, dass es für β, γ ∈ SuppBχ ein δ ∈ 〈α〉Bχ gibt mit α+ γ ∈ 〈α〉Bχund α+ γ + β ∈ 〈α〉Bχ 。 Daraus kann man schließen, dass

bβ · bγL(α)(α) = bβL(α)(α+γ) = L(α)(α+γ+β) 6= 0

Ja, dann ist tatsächlich bβ bγ 6 = 0.

• Betrachten Sie nun ein beliebiges Produkt b b′ ∈ Bχ: schreiben

b =

n∑i=1

di · bβi , b′ =

m∑j=1

d′j bγj

Schauen Sie sich das Produkt an: Es hat Form

b·b′=∑i,j

did''j bβibγj =

∑i,j

dijbβi+γj

Für ein geeignetes dij ∈ Sym(t). Es gibt mindestens ein Paar (p, q), so dass

Das bedeutet, dass βp + γq nur genau auf eine Weise geschrieben werden kann. geeignet

Der Summand kann mit keinem anderen Summanden aufgehoben werden und ist größer als

Der Parameter selbst ist 6 = 0, womit der Beweis abgeschlossen ist. die Existenz dieses Paares

(p, q) wird durch Angabe der Gesamtordnung auf βi und γj erhalten: Betrachten

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

spanZ {βi, γj | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} ⊂ kn = t*,

ist frei und daher isomorph zu jedem Zk. erbt {βi, γj | 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} eine Gesamtordnung (z. B. lexikographische Ordnung) von Zk spanZ , und

In diesem Sinne gibt es ein Maximum βp zwischen βi und einem Maximum γq

Gamma j. Die Summe βp + γq kann dann auf eine (d. h. diese) Art und Weise berechnet werden

Art zu schreiben.

ii) Bχ ist primitiv: Wir müssen ein α ∈ V (g−χ(g)) finden, so dass L(α) ein treuer Modul Bχ ist

, 或 seja, J(a) = AnnBx(L(a)) = 0。

• Es gibt ein α mit <α>Bχ: Zuerst erinnern wir uns an Lemma 6.2.2, dank SuppBχ

Unter der Annahme, dass g rational ist, ist es dicht in V(g). Es gilt für alle β ∈ V (g−χ(g)),

Die Träger von L(β) liegen im Gitter β + Supp Bχ ⊂ V (g − χ(g)), weil L(β)

ist der Quotient von M(1)(β), erzeugt mit dem Grad β auf Bχ. Dieses zerlegte Gitter

Es gibt aber nur endlich viele Äquivalenzklassen 〈α〉Bχ, da für α ∈ β + Supp Bχ

Golden

〈α〉Bχ = {γ ∈ V (g− χ(g)) | γ ≡ α mod Zn e γi ∈ Z≥0 ⇔ αi ∈ Z≥0 ∀1 ≤ i ≤ r}= {γ ∈ (β + Zn) ∩ V (g− χ(g)) | γi ∈ Z≥0 ⇔ αi ∈ Z≥0 ∀1 ≤ i ≤ r},

102

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Dies sind höchstens 2r unterschiedliche Regionen <α>Bχ. Ich verstehe

V (g− χ(g)) = β + SuppBχ =⋃〈α〉Bχ =

⋃〈α〉Bx,

Da V (g − χ(g)) irreduzibel ist, gilt V (g − χ(g)) = <α>Bχ für eines von α.

• Fur αmit 〈α〉Bχ = V (g−χ(g)) gilt J(α) = 0: Nach Proposition 3.2.14 gilt V (J(α)0) =

〈α〉Bχ mit J(α)0 semiprim, und es folgt J(α)0 = I(〈α〉Bχ) = 0 (vgl.Korollar 3.2.16.iv

). Im gleichen Satz lässt sich erkennen, dass J(α) jedoch durch J(α)0 erzeugt wird

(Die Annahme dieses Satzes wird in Punkt (iii)d des nächsten Beweises diskutiert

verifiziert), d. h. J(α) = 0.

iii) Jedes Primideal in Bχ hat die Form J(α): Diese Aussage stammt aus Satz 3.2.17,

solange es Bedingungen gibt

(a) Bχ bewertet als linker Knott,

(b) LängeBχ(M (1)(α)) ist unabhängig von α beschränkt,

(d) Ich (

(+ b)∩)

= I(<α>+ b

)+ EU

()

Für alle β ∈ SuppBχ und alle

α ∈ V (kerφ)。

befriedigt. Also lasst uns Folgendes tun:

(a) Weyl-Algebren sind (abgestufte) Left-Knott-Algebren: wie in Satz 5.1.9 gezeigt.

Seine Ag-Subalgebra ist links noethersch: Betrachten Sie eine stark wachsende Kette

Das mogener Ideal I1 ⊂ I2 ⊂ . ..August dann ist AIi ideal auf A, erhalten wir

Aufsteigende Kette AI1 ⊂ AI2 ⊂ . . . In A, weil die Einschlüsse erhalten bleiben.

Aber der Strom dort muss stationär sein, also AIi = AIj für alle i, j > N für

Ein ausreichend großes N. Als nächstes sehen wir, dass (AIi)g = Ii: A dividiert durch

Die Wirkung t geht im Raum der Gewichte Aλ einher, ist also auch vom Induktor abhängig.

Der Bearbeitungseffekt von g. Bezeichnet die Zerlegung des resultierenden Gewichtsraums

A =⊕µ∈g∗

Aµ,g, da der neue Gewichtsbereich dies nicht unbedingt erfordert

Zehn (es kann vorkommen, dass mehrere Summanden zu einem zusammengefasst werden

werden). Beachten Sie, dass jetzt A0,g = Ag gilt. Stellen Sie den Schlagschatten auf 0° ein

Kraftraumpass

Φ : A =⊕µ∈g∗

Aµ,g → A0,g = Ag

a =∑µ∈g∗

aµ 7→ a0。

Wir sagen: Φ ist linear in Ag, weil für x ∈ Ag und a ∈ A gilt

Φ(xa) = Φ(∑

xµ) = ∑

Φ(xaµ) = xa0 = xΦ(a),

Dann wird abgeleitet, dass xaμ ∈ A0+μ = Aμ ist (Ebene A). Ja

Daraus folgt, dass Ii = (AIi)g = (AIj)g = Ij für alle i, j > N , also tatsächlich Ag

Verlassen Sie Nottsch. Dann wird Bχ auch als Quotient des linken Knott-Rings verwendet

Notsch.

(b) Die Länge von M(1)(α) ist unabhängig von α: Dies ist gegeben durch

Er wird als Vektor einfacher Subquotienten betrachtet. pro Formularmodul

M(1)(α) liegt in O(1), daher ist die Unterstützung von Lemma 2.4.27 die Vereinigung

Äquivalenzklasse <β>Bχ = Supp BχL(β) für β ∈ t∗. Andererseits der Träger

103

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

M (1)(a) = Bx/Bxma em α + Supp Bx ⊂ α + Supp A = α + Zn enthalten, weil

M(1)(α) wird auf Bχ von 1 ∈ M(1)(α)(α) erzeugt, siehe Korollar 2.4.16 und warum

Der durch Lemma 5.3.7 erhaltene Träger von Bχ ist SuppA∩V (g). Gemäß Korollar 4.4.7

Es gilt 〈β〉Bχ = 〈β〉A ∩ V (g − χ(g)), d. h. anstatt den Bereich 〈β〉Bχ zu berechnen,

Wir können die Fläche <β>A der Weyl-Algebra berechnen. Aus Korollar 5.4.4 wissen wir das

Wir beschreiben die Bereiche der Weyl-Algebren durch

〈β〉 = {γ ∈ t∗ | γ ≡ β mod Zn e γi ∈ Z≥0 ⇔ βi ∈ Z≥0 ∀1 ≤ i ≤ r}。

Es kann nur eine endliche Anzahl von <β>-Regionen in α+Z geben, höchstens 2r Blöcke.

Diese Obergrenze ist für alle α ∈ t∗ gleich, also für alle M(1)(α).

Es gibt höchstens 2r verschiedene Konstituentenfaktoren L(β) (auch wenn dies der Fall ist).

Unendlich verschiedene isomorphe Klassen, die einfache Module in O(1) enthalten

aus). Jetzt müssen wir nur noch die Anzahl des Vorkommens jedes L(β) begrenzen.

wird zu: Behauptung, dass jeder konstituierende Faktor L(β) höchstens einen hat

erscheint in M(1)(α). Denn wenn es mindestens zwei Kopien von L(β) in M(1)(α) gibt

(sogar Isomorphismus, aber Isomorphismus ändert nichts an den Gewichten

10), dann dimkM(1)(α)(β) ≥ 2, aber aus Proposition 2.4.19.iii wissen wir es

dimkM(1)(α)(β) ≤ 1 ist gültig. Denn die Länge des Moduls bestimmt die Gesamtzahl der Module

Positionsfaktoren können Sie 2r 1 = 2r verwenden, um eine gemeinsame Obergrenze zu bilden

Für die Länge von M(1)(α).

ist die Stellungnahme zum Vorschlag 6.2.12.

(d) Ich (

(<α>Bx + β)∩<α>Bx)

= I(<α>Bx + b

)+ EU

(Ex

): Hier gilt die Folgerung

6.1.17 Bei x = β ist C ∩ L = 〈α〉Bχ (dann betrachten wir dessen I(. . .)).

iv) Eins-zu-eins-Korrespondenz

{ Regionen <α>Bχ ⊂ V (g− χ(g))} 1:1←→ { Primitive Ideale ⊂ Bχ}α↔ J(α)

Wir können auch Satz 3.2.17 anwenden.

v) Bχ hat nur endlich viele Urideale: Dies ist eine Eins-zu-Eins-Korollar

Korrespondenz und nur eine begrenzte Anzahl von Fakten

Es gibt geschlossene Bereiche.

vi) Die Aussage, dass Jα = BχαJ0 + J0Bχα ist tatsächlich eine Aussage eines Satzes

3.2.14.iii und 3.2.14.iv. Hierzu muss davon ausgegangen werden, dass ich (

(<α>Bx + β)∩<α>Bx)

I(<α>Bx + b

)+ EU

(Ex

) gilt, aber wir haben bereits die Punkte (iii) und (iv) gesehen.

der dritte. ,

7.2 Morita-Kontext zwischen Bχ und Bχ′

Auch dieser Abschnitt gilt für jede Konfiguration (A, t, φ) – das sollte er auch tun

Keine Weyl-Algebra. Hier ist der Zusammenhang zwischen Bχ und Bχ′

gemacht.

Bemerkung 7.2.1 (Beziehung zur allgemeinen Algebra). wenn du fragst

Frage, was ist der Zusammenhang zwischen Bχ und Bχ′

existiert und dann haben Sie eine passende Option

Finden Sie Bχ und Bχ′ aus χ, χ′

Entspricht Morita (siehe [Sch04]). also hast du es

Äquivalenz der Klasse Bχ-mod → Bχ′-mod, gegeben durch den Tensor

ellen Bχ-Bχ′-Bimodule, definiert in diesem Abschnitt. generische Simulation

104

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

In der Algebra geht es um die Äquivalenz der Blöcke Oλ und Oµ, wenn λ und µ gleich sind

Der Unterschied zwischen Facetten und Integralen besteht (siehe [Hum08, Satz 7.8]). Äquivalent

Gegeben durch einen Verschiebungsfunktor, kann er auch als Doppeltensor bezeichnet werden

Module zu endlichdimensionalen Algebren (diese Beschreibung sollte

sollte nicht mit der Tatsache verwechselt werden, dass bei der Konstruktion des Verschiebungsfunktors a

Tensorprodukt beinhaltet U(g)), siehe [Str03] oder [Jan79, Kapitel 2].

Definition 7.2.2 (Bx,x′). Fur χ, χ′ ∈ g∗ Definierer

Agχ−χ′ := {a ∈ A | [φ(t), a] = (χ− χ′)(t)a ∀ t ∈ g}

zu guter Letzt

Bx,x'

:= Agχ−χ′/(g− χ(g))Ag

h-h'

Lemma 7.2.3 (Eigenschaften von Bχ,χ′). Sei Bχ,χ

Es ist Silber

χ−χ′ ist wie oben definiert.

1. Agχ−χ′ =

⊕α∈V (g−(x−x′)(g))

Aα

2. Bx,x'

ist das bimodale Bχ-Bχ′

Gerichtsverhandlung.

Europäische Union)

Agχ−χ′ = {a ∈ A | [φ(t), a] = (χ− χ′)(t)a ∀ t ∈ g}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | [φ(t), a] = (χ− χ′)(t)a ∀ t ∈ g}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | α(t)a = (χ− χ′)(t)a ∀ t ∈ g}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | α(t− (χ− χ′)(t))a = 0 ∀ t ∈ g}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | α(π)a = 0 ∀ π ∈ g− (χ− χ′)(g)}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | g− (χ− χ′)(g) ⊂ kerα}

=⊕α∈t∗{a ∈ Aα | α ∈ V (g− (χ− χ′)(g))}

=⊕

α∈V (g−(x−x′)(g))

Aα

ii) Bx,x'

ist ein bimodales Bχ-Bχ′: Zur Erinnerung: Es gibt

Bx = Ag/(g− x(g))

Bx′

= Ag/(g− χ′(g))

Bx,x'

= Agχ−χ′/(g− χ(g))Ag

x-x' 。

Jetzt müssen Sie die folgende Aussage (nichtproduktiver Berechnungsteil) überprüfen

sinnvoll ausgeschlossen):

• Bχ,χ′ ist das linke Modulo Bχ bzgl. a• b := ab:

Diese Wirkung ist wohldefiniert, da zunächst ab ∈ Agχ−χ' für a ∈ Ag, b ∈ Ag

x-x':

[t, ab] = [t, a]b+ a[t, b] = 0 + a(χ− χ′)(t) · b = (χ− χ′)(t) · ab。

105

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Zweitens seien a + m, b + m die anderen beiden Vertreter von a, b, wobei m ∈ Ag(g−χ(g))Ag und m ∈ (g − χ(g))Ag

χ−χ′ ist einfach zu berechnen

(a+m)(b+m) = ab+mb+ am+mm = ab,

Weil alle anderen Summen in (g− (χ− χ′)(g))Agχ−χ′ liegen.

• Bχ,χ′ ist modulo Bχ′ rechts von b·a′ := ba′:

Erstens: ba′ ∈ Agχ−χ′ für a′ ∈ Ag, b ∈ Ag

x-x':

[t, ba] = [t, b]a+ b[t, a] = (χ− χ′)(t) · ba+ 0。

2. Die Unabhängigkeit der gewählten Vertreter muss gewährleistet sein

werden gezählt.

• Wirkungen sind gegenseitig vertraglich:

Natürlich, da die Multiplikation in A assoziativ ist. ,

Der folgende Satz entspricht genau [MVdB98, Satz 4.5.1].

Vorschlag 7.2.4. Sei J ⊂ A ein bilaterales Ideal, so dass einerseits der Gewichtsraum Jα ausstirbt

form

Jα = J0Aα +AαJ0

Ja, für alle α ∈ t ∗ hat andererseits die Eigenschaft, dass J0 die Form hat

J0 = φ((h− χ1(h)) ∩ . . . ∩ (h− χp(h)))

wobei h ⊂ t ein Unterraum ist und χi von h* stammt. also folgen

A/D～=

Bx1 Bx1,x2

Bx2,x1 Bx2

. . .

Bxp

das ist Algebra

Bx1 Bx1,x2

Bx2,x1 Bx2

. . .

Bxp

Formelement

b11 b12

b21 b22

. . .

bpp

, dann wenn ∈ Bχi,χj , wenn ∈ Bχi ,

Die Multiplikation erfolgt durch „Matrixmultiplikation“. Der Beweis des Satzes wird

Nur eine Skizze, sehr detaillierte Informationen finden Sie auch in [MVdB98].

beweisen. Der Test muss folgenden Schritten folgen:

• p ist orthogonal und idempotent dazu in Sym(t)/p⋂i=1

(h − χi(h)) (sie ergeben sich aus der Tatsache, dass

symbol/p⋂i=1

(h − χi(h)) in der Vereinigung von p parallelen Hyperebenen V (h − χi(h)) t∗

Es ist äquivalent zu: Wählen Sie nun oben die Funktionen aus, jeweils auf der i-ten Hyperebene 1

ist und 0 auf allen anderen Hyperebenen – dies ist aufgrund des Schnittpunkts dieser Hyperebenen möglich

Es ist leer. Diese Funktionen sind zufällig idempotent (ihr Produkt ist Null bei ⋃j 6=i).

V (h−

χj(h)) und einer von V (h − χi(h)))). Ihre p-Zahl ist hier die größte.

106

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

• Definieren Sie die Abbildung εij : Ahχi−χj → ei(A/J)ej

• Berechnen Sie Ihren Kernel als (h−χi(h))|Ahχi−χj

Und erhalten Sie Bχi,χj ∼=ei(A/J)ej

• Berechnungen multiplizieren Bilder in A/J, genau wie das Multiplizieren von Matrizen

Relationaler Ausdruck, εij(a)εjk(b) = εik(ab)

• Schließ das

A/D～=

e1(A/J)e1 e1(A/J)e2

e2(A/J)e1 e2(A/J)e2

. . .

ep(A/J)ep

∼=

Bx1 Bx1,x2

Bx2,x1 Bx2

. . .

Bxp

7.3 Ursprünglicher Werbespot

Zurück zur Weyl-Algebra, ihrem Bχ und dem ursprünglichen Ideal: In diesem Abschnitt werden wir dies tun

Unterscheiden Sie zwischen Ag/(g − χ(g))Ag und Ah/(h − χ(h))Ah. Nennen Sie daher den ersten Ring Bχg und den zweiten Ring Bχh. Der folgende Satz beschreibt den primitiven Quotienten Bχg /J

Für das ursprüngliche Ideal J ⊂ Bχg gibt es also irgendwo einen einfachen Modul,

Dies wird zufällig durch J ausgeglichen. Dank Satz 7.1.1.iii wissen wir, dass J = J(α) gegeben ist

Ein Vernichter für einen einfachen Modul L(α) von O(p).

Vorschlag 7.3.1. Sei J ⊂ Bχg das ursprüngliche Ideal. Dann gibt es einen Unterraum g ⊂ h ⊂ t

und χ1, . . . , χp ∈ h∗ wobei χi|g = χ für alle i, so dass

Bχg /J =

Bx1

hBx1,x2

Bx2,x1

hBχ2

. . .

Bχph

beweisen. Wir wollen Satz 7.2.4 anwenden, wonach Bχ/J die erforderliche Form hat,

Wenn J ein zweiseitiges Ideal mit den folgenden zwei Eigenschaften ist:

i) Jα = J0Aα +AαJ0 für alle α ∈ t∗

ii) Es gibt einen Unterraum h ⊂ t e χ1, . . . , χp ∈ h, so dass

J0 = φ((h− χ1(h)) ∩ . . . ∩ (h− χp(h)))

Schauen wir uns also die Bedingungen an: Erstens ist der Vernichter J ein Modul

L ist ein zweiseitiges Ideal in Bχ (siehe Lemma 3.1.2). 2. Bedingungen (i) Von Sam-

melproposition 7.1.1.vi Zufrieden. Für die letzte Anforderung (ii) benötigen wir auch ein passendes h

Finden Sie χi ∈ h (in unserem Fall φ nur aus Inklusion): J ist primitiv, weil

Auch bei Primzahlen (siehe Beobachtung 3.2.8) und der Sammelaussage 7.1.1.iii folgt, dass dies der Fall ist

α ∈ V (g − χ(g)) bedeutet, dass J = J(α) = AnnBχ(L(α)) ⊂ Bχ já é o aniquilador

107

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

L(α) muss sein. Aus Satz 3.2.14.ii wissen wir, dass V (J(α)0) = 〈α〉Bχ. Mann

Dann konvertieren Sie:

J0 = J(α)0 =√J(α)0 = I(V (J(α)0)) = I(<α>Bx),

wobei J(α)0 =√J(α)0 Nach Proposition 3.2.14.i ist J(α)0 eine Halbprimzahl

(Anmerkung 3.2.10 besagt, dass „semiprim“ „Ra-

Ideales Dicali‘). Aus Lemma 6.3.1 wissen wir, dass die Beschreibung von <α>Bχ lautet

Affiner Unterraum <α>Bχ = ⋃pi=1 V (h− χi(h)).

J = ich(

p⋃i=1

V (h− χi(h)))

p⋂i=1

I(V(h− χi(h)))

p⋂i=1

√(h− χi(h))

p⋂i=1

(h− χi(h))。

Jetzt können wir Proposition 7.2.4 anwenden. Beachten Sie die Notation: Bχi von Sätzen

gleich Ah/(h − χi(h))Ah und A = Bχg , was auch für Bχi,χjh gilt. also musst du es trotzdem tun

beweisen

Bχih =(Bχg)h/(h− χi(h))

(Bxg)h

gilt (und ähnliche Aussagen, die Doppelmodule zeigen). Diese Perlen sind aus ästhetischem Material gefertigt

Die Ursache tritt nicht wieder auf. ,

Als nächstes müssen wir den höchsten Grad dieses primitiven Quotienten berechnen. liefern

Beginnen Sie damit, es zuerst zu definieren.

7.4 Ausflug: Goldierang

In diesem Abschnitt wird der Goldgrad eines Rings oder Moduls definiert.

Da dies mehr Graben erfordert (wir brauchen den Standort, müssen wir

Behandeln Sie dann die verschiedenen Varianten in der Goldierang-Definition

zen), gibt es am Anfang des nächsten Kapitels, 7.5, eine kleine Zusammenfassung, also diese

Abschweifungen können einfach ignoriert werden.

Hier betrachten wir einen Ring R, der insbesondere nicht mit einem Ring R vertauschbar ist.

In diesem Abschnitt wird hauptsächlich die Einleitung aus [Lam99] verwendet (alle Aussagen

gilt für das Modul rechts und gilt auch für das Modul links) und [Jan83].

7.4.1 Standort

Beim Setzen von Goldierang wird die Ringposition verwendet, also hier

Ein kurzer Überblick zum Thema. Als treibende Kraft für den nächsten Bau

Für nichtkommutative Ringe beginnen wir mit der Lokalisierung kommutativer Ringe und führen diese dann durch

Besprechen Sie den Standort des Erzes. Einzelheiten dazu finden sich in [Lam99, Kapitel 9].

Beachten Sie 7.4.1. Eine gute Lageimmobilie im Tauschfall: Gegeben

werden

• Kommutativring R

108

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

• und eine multiplikative Teilmenge S ⊂ R, das heißt, S ist unter mehreren Bedingungen abgeschlossen

Kation, wir haben 1 ∈ S, 0 / ∈ S.

Dann ist die Position RS von R in S zusammen mit a ein kommutativer Ring RS

Ringhomomorphismus ε : R → RS, so dass ε(s) die Einheit für alle s ∈ S in RS ist. es befriedigt

Hat die folgenden hervorragenden Eigenschaften:

• Jedes Element in RS sieht aus wie ein „Bruch“ ε(s)−1ε(r), wobei r ∈ R und s ∈ S.

• Der Kern von ε entspricht dem Element bezüglich der Division durch Null von S, d. h.

ker(ε) = {r ∈ R | rs = 0 für ein s ∈ S}.

• Wenn R ein kommutativer Integralring ist, dann ist Q(R) = RR\{0}.

Ringpositionen – ob kommutativ oder nicht – sollten nur wie folgt sein

Generelle Eigenschaften:

Definition 7.4.2 (Allgemeine Standortattribute). R-Position

Nach der multiplikativen Teilmenge S handelt es sich um einen RS-Ring und einen homomorphen Ring.

Phismus ε : R→ RS , wodurch das Bild von S unter ε in der einheitlichen Gruppe von RS entsteht, wobei

Allgemeine Eigenschaften:

Es gibt einen weiteren Ring R' und einen Isotopenring ε' : R → R' und den Graphen von S in

Einheiten von R', also übersteigt dieser ε'-Faktor ε, d. h. es liegt ein eindeutig Bestimmtes vor

Cyclohomeomorphismus f : RS → R′ mit ε′ = f ◦ ε.

Hinweis 7.4.3.

• Für jede multiplikative Teilmenge S in jedem Ring R (insbesondere

austauschbar) können die RS-Position finden. Aber dieser RS ist einfach

Bestimmte Generatoren und Beziehungen können ziemlich hässlich sein: Speichern Sie das oben Genannte

Attribute gehen möglicherweise verloren. Stattdessen erhalten Sie die „Punktzahl“ des „Wortes“.

Zerlegen Sie es in irreduzible Nenner und Zähler.

• Für kommutative Ringe ist es offensichtlich, dass die Wörter wie folgt umgeordnet werden können:

Der „Nenner“ steht ganz links und der „Zähler“ ganz rechts (und umgekehrt). ohne

In diesem Fall werden zusätzliche Anforderungen an den Kommutierungsring gestellt.

• Bitte beachten Sie jedoch: Unabhängig von etwaigen zusätzlichen Anforderungen in R oder S ist ein bzw

Eine weitere schöne zusätzliche Eigenschaft des Standorts wird angewendet – schließlich alle Standorte

Elemente, die für R und S konstruiert werden können und gemeinsame Eigenschaften erfüllen

isomorph zueinander.

Lösungsvorschläge zur Vermeidung unangenehmer Phänomene: nur basierend auf

Allen setzt S, damit bessere Sachen herauskommen. Dies macht - sofern vorhanden -

Informationen zu Erzstandorten finden Sie in [Lam99, Kapitel 10].

Definition 7.4.4 (Erzstandort). Der Q-Ring wird Erzposition oder Verbindungsstatus genannt

Liegt ein Ringhomomorphismus vor, dann ist der untergeordnete Ring bezüglich der multiplikativen Menge S ⊂ R

ϕ : R→ Q mit:

• Das Bild von S unter φ ist in Einheiten von Q – dh φ ist S-invertiert.

• Jedes Element in Q sieht aus wie ein „Bruch“ φ(s)−1φ(r), wobei r ∈ R und s ∈ S.

• ker(ϕ) = {r ∈ R | sr = 0 für ein s ∈ S}.

109

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Die letzten beiden Punkte sind schöne Eigenschaften, die sich vom Umtauschfall unterscheiden.

sucht nach [Lam99, Theorem 10.6] einen so erfolgreich positionierten Auftritt

Äquivalent zu S, das die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

• Linkskommutativ: cutSr ∩ Rs ist nichtleer für alle r ∈ R und s ∈ S.

• Linksreversibel: gilt für alle r ∈ R: Wenn es ein s′ ∈ S mit rs′ = 0 gibt, dann gibt es ein anderes

s ∈ S 且 sr = 0。

Es heißt jetzt Q = S−1R als Minenposition oder Geschäftsring von R im Nenner

S einstellen. Insbesondere wenn eine Menge S vorliegt, dann wird S−1R daher als klassischer Quotientenring bezeichnet

Dort ist die Menge aller regulären Elemente in R (ein Element s ∈ R ist regulär,

wenn es sich weder um einen führenden Nullfaktor noch um einen führenden Nullfaktor handelt). S−1R erfüllt die Inklusion

R ↪→ S−1R allgemeine Eigenschaften.

Allerdings muss der R-Ring nicht unbedingt den klassischen Shang-Ring haben. aber falls,

Dann heißt R in diesem Quotientenring linke Ordnung und ist definiert als

[Lam99, Kapitel 11A]:

Einstellung 7.4.5. Sei Q ⊇ R ein beliebiger Ring mit Unterringen. R heißt linke Ordnung in Q,

liefern

{reguläre Elemente von R} ⊆ {reversible Elemente von Q}

elektronisch

Q = {s−1r | r ∈ R, s regulär ∈ R}。

Wenn der Ring R linksgeordnet ist auf Q, dann ist Q ein klassischer Quotientenring auf R.

Hinweis 7.4.6. Alle oben genannten Definitionen können auch in Rechtsordnungen verwendet werden.

Erkennen Sie Tientenringe et al. Wenn S ⊂ R rechtskommutativ und rechtsinvertierbar ist, dann ist RS−1 der

Der rechte Quotientenring von R bezüglich S. Nach [Lam99, Korollar 10.14] beides

RS-1 und S-1R, dann erfüllen beide die allgemeine Eigenschaft und sind somit isomorph

gegenseitig.

7.4.2 Goldener Ring

Nun fragt man sich, wann der R-Ring einen klassischen Q-Ring mit dem Schönen hatte

Hat eine halbeinfache Eigenschaft. Der Satz von Goldie gibt die Antwort: R muss halbprim sein

Seien Sie mehr als nur Goldiering.

Bleibt ein Ring in zwei Dimensionen „klein“, kann man von einem vergoldeten Ring sprechen. Erstens können Sie

Viele Ideale passen nicht „nebeneinander“, gemessen an der sogenannten Einheitsdimension.

Zweitens stellen Sie fest, dass die ideale aufsteigende Kette stationär sein muss. offiziell aussieht

Es sieht aus wie das:

Definition 7.4.7 (Einheitliche Dimensionierung der Module). M hat die einheitliche Dimension m,

Wenn es einen elementaren Untermodul der Form U1 ⊕ enthält. . . ⊕ A so dass alle Ui konsistent sind

sie sind:

• Ein Untermodul N ⊂ M heißt notwendig, wenn alle anderen Untermodule (6= 0) unser N sind

Nicht triviale Schnitte.

• N ⊂M heißt gleichmäßig, wenn zwei beliebige Untermodule (6= 0) von N ⊂M nichttriviale Schnitte haben.

Schreiben Sie in diesem Fall u.dim(M) = m. Wenn m nicht existiert, ist die Summe in M oben erforderlich

Dann setze u.dim(M) = ∞.

Hinweis 7.4.8.

110

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

• Eine gute Definition der einheitlichen Dimension ergibt sich aus dem Kommutierungssatz von Steinitz

[Lam99, Satz 6.1].

• Wir verwenden dies, um die Größe des Moduls zu messen, indem wir die Größe der direkten Summe betrachten

Submodul U1 ⊕ . . .⊕ kann höchstens eines haben:

– Das Konzept der wesentlichen Untermodule wird verwendet, um das Größte auszudrücken

Gerade Summe U1 ⊕ . . . ⊕ beschrieben in M: kann nicht mehr hinzufügen

Weitere direkte Zusätze finden Sie in M.

(„Kein Leerzeichen neben anderen Submodulen“)

– Zum Ausdruck wird das Konzept der einheitlichen Submodule verwendet

Im Ui-Anhang gibt es keine direkte Summierung von Submodulen mehr

stecken, was die Anzahl der Summen in M erhöhen kann.

(„Keines Ihrer Submodule passt nebeneinander“)

Wir brauchen nur diese Definition der Ringe auf der linken Seite und ihrer Ideale, keine Module

Seine verknüpften Submodule. Was ist das einheitliche Größenmaß für Ringe?

Ideal für Ringe mit Glattschliff. Der Zustand der aufsteigenden Kette ist

Eine Menge idealer {Ii}i ∈ I in R wird wie üblich mit ACC abgekürzt (

heißt jeder Inklusionsstring Ii1 ⊆ Ii2 ⊆ . . . wo das Ideal nach einer endlichen Anzahl von wird

feste Schritte).

Definition 7.4.9 (goldener Ring). Nach [Lam99, Definition 11.9, ist R als Links-Goldie-Ring bekannt

und Abschnitt 6E], wenn:

1. u.dim(R) < ∞ für R als seinen eigenen linken Modul.

2. Für den linken Vernichter AnnR(K) = {r ∈ R | r k = 0 ∀k ∈ K} jede Teilmenge

K ⊂ R (wobei R als linker Operand betrachtet wird, jedoch nicht für die Multiplikation

vollständig oder sogar ideal), gilt ACC.

Hinweis 7.4.10.

• Diese Nullifikatoren bleiben nur ideal, da K ⊂ R nicht unbedingt ideal ist.

• Die Bedingung u.dim(R) <∞ kann auch in eine ACC-Bedingung umgewandelt werden, also

Die äquivalente Definition eines Goldrings lautet:

1. u.dim(R) <∞: Diese Bedingung entspricht ACC für solche linken idealen Strings

In R besteht es aus „trunkierten Komplementen“, also Ketten solcher linken Ideale,

mit jeder anderen trivialen Schnittmengeigenschaft des Größten

Es gibt linke Ideale [Lam99, Proposition 6.30'].

2. ACC muss linke ideale Zeichenfolgen in R enthalten, die aus partiellen Nullifikatoren bestehen

Es gibt eine Sammlung von R.

Natürlich wird der Noether-Ring in einer solchen Situation nur ein müdes Lächeln zeigen, wie z

Es erfüllt die allgemeinste ACC-Bedingung, also alle idealen ACCs. Ich verstehe

Jeder Knott-Ring ist ein Goldring.

Satz 7.4.11 (Goldie). Lass R spielen. Es gibt Äquivalente [Lam99, Satz 11.13]:

• R ist in einem Halbsingelring Q linksgeordnet

• R ist eine Halbprimzahl nach links und golden, d. h. (0) ist ein Halbprimzahlideal (zweiseitiges Ideal).

ACC für R und u.dim(R) < ∞ und linken Vernichter AnnR(K), K ⊂ R.

111

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

7.4.3 Goldierangfell Goldieringe

Es sind zahlreiche Definitionen von Goldierang im Umlauf, die von leicht bis stark variieren.

grundsätzlich für den jeweiligen Zweck geeignet. Betreten Sie diesen Abschnitt

Schauen wir uns das anhand von [Lam91], [Lam99] und [Dix96] an. eins

Eine Übersicht über Noether-Ringe finden Sie in [Jan83, Kapitel 11].

Gold-Level-Definitionen für linke R-Module auf jedem Ring R finden Sie unter

Das Pseudonym „vereinfachte Klassifikation“ in [Lam99, Definition 7.34] lautet:

Definition 7.4.12 (Goldier-I-Stufe). Sei M der linke R-Modul. Sei Z(M) := {m ∈ M | AnnR(m) im Wesentlichen das singuläre Element von M in R}. dann Gold setzen

M ist klassifiziert als [Lam99, Definition 7.34]

GrkR(M) = u.dim(M)− u.dim(Z(M))。

Wenn R ein Link-Gold-Halbprimer ist, dann das oben definierte Link-Gold

Der Modul R nach [Lam99, Proposition 11.15] entspricht in der Regel der folgenden Umformulierung

wird als Definition von Goldierang verwendet (wir folgen hier dieser Konvention):

Definition 7.4.13 (Goldier II). Sei R der goldene Kreis, der durch Halbprimer verbunden ist, und Q der klassische

R-Quotientenring. Sei M der linkshändige R-Modul. Setzen Sie dann die höchste Goldbewertung von M auf

GrkR(M) := comprimentoQ(Q⊗RM)。

Hier ist LängeQ(Q⊗RM) die zusammengesetzte Länge des linken Q-Moduls Q⊗RM.

Hinweis 7.4.14. Existenz klassischer Shang-Ringe mit Goldie-Halbprime-Ketten

Der Ring gehorcht dem Goldie-Theorem 7.4.11.

Jetzt interessiert uns der Bχ/J(α)-Ring mit dem höchsten Goldrang als sein eigener Modul.

Hinweis 7.4.15. Hinweis: Bχ/J(α) ist ein ursprünglicher Noether-Ring (nach dem Original).

Definition, Noether-Ring als Quotient von Bχ für den Noether-Ring: Im Beweis von Theo-

rem 7.1.1.iii zeigt, dass Bχ eine linke Knott-Matrix ist. Ebenso gilt Bχ

ist noetherisch, da die zugrunde liegende Weyl-Algebra auf beiden Seiten noetherisch ist, siehe die Beobachtung -

5.1.10). Insbesondere ist Bχ/J(α) auch eine Primzahl [Lam91, Proposition 11.6] und verließ Goldie.

Für solche Ringe können beide Definitionen vereinfacht werden.

Lemma 7.4.16 (Vereinfachung von Goldierang I). Sei R ein Haupt-Noether-Zyklus.

Also ist R als Gold-Rating für das linke Modul selbst gleich

GrkR(R) = u.dim(R)。

beweisen. Es muss gezeigt werden, dass Z(R) = 0. Dafür müssen wir das zusätzlich sehen

0, dessen linker Vernichter {a ∈ R | ar = 0} in R essentiell ist. es ist gleichbedeutend mit

Zeigen Sie, dass das grundlegende linke Ideal a von R im Gegensatz zu anderen niemals die Form a = AnnR(r) hat

Wort: In jedem Basis-Linksideal a gibt es ein Element a ohne rechten Teiler Null

ar = 0. was sogar daran liegt, dass R ein Nicht-Äther und eine Halbprimzahl ist

Aussage von [Dix96, Lema 3.6.11]. ,

Lemma 7.4.17 (Vereinfachung von Goldierang II). Sei R ein Haupt-Noether-Zyklus.

Also ist R als Gold-Rating für das linke Modul selbst gleich

GrkR(R) = n,

wobei n ∈ N eine eindeutige Zahl ist, so dass für einen klassischen Quotientenring Q

Gold R:

Q∼= Mn(D)。

Hier ist D kursiv geschrieben (wieder eindeutig bestimmt).

112

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

beweisen. Da R eine Primzahl und ein Noether-Operator ist, kann der Goldier-Rang aus Definition 7.4.13 verwendet werden

Geben Sie GrkR(R) = QLength(Q⊗RR) = QLength(Q) an. Öffnen Sie gemäß [Dix96, Theorem 3.6.12.iii] Q

Einfache athinische Ringe (wobei man bedenkt, dass R nicht nur Halbprimzahl, sondern auch Primzahl ist),

und man kann das Wedderburn-Artin-Theorem [Lam91, Theorem 3.5, Korollar 3.13] anwenden,

wobei Q isomorph zum Ring der Matrix Mn(D) auf einem eindeutig bestimmten Steigungsfeld ist

D ist das eindeutig bestimmte n. Nun ist n die Länge von Mn(D) auf sich selbst [Lam91,

Satz 3.3], also GrkR(R) = n. ,

Hinweis 7.4.18. Ebenso sei R eine Primzahl und ein Noether-Operator. Wenn R ein Teiler von Null ist, dann

Sein klassischer Quotientenring Q ist bereits ein asymmetrisches Feld, daher gilt GrkR(R) = 1 wie folgt (vgl

[Januar 83, Kapitel 11.3]).

Für unseren ursprünglichen Quotienten Bχ/J(α) können wir wählen, wie wir das Gold berechnen

Wer den Rang bestimmen möchte: Man kann und sollte Grk(Bχ/J(α)) = u.dim(Bχ/J(α)) verwenden.

Berechnen Sie dann die verbleibenden Ideale I1, ..., die in Bχ/J(α) höchstens so existieren, dass sie

Summe I1 ⊕ . . . ⊕ Live (vergleiche [Jan83, Anhang 11A.3]).

7.5 Goldiron des ursprünglichen Händlers

Als Anwendung der Aussage 7.3.1 über Urheber würde ich gerne Folgendes sehen:

Satz 7.5.1. Der Goldierrang von Bχg /J(α) ist gleich der Anzahl der verbundenen Komponenten

Der mit Bx.

Einige erste Kommentare.

Anmerkung 7.5.2 (Gold). Einige grundlegende Informationen zu Definitionen

Therangs werden außerhalb des Themas behandelt. Aber hier reicht es aus, die Definition der Primzahl Noethersche zu geben

Rufen Sie R an, um herauszufinden:

GrkR(R) := max {n|direkte Summe mit Linksideal I1 ⊕. . .⊕ in ⊂ R}.

Tatsächlich ist Bχ (abgeleitet von der Weyl-Algebra) eine Primzahl und der Noether-Operator, siehe Anmerkungen

7.4.15。

Bemerkung 7.5.3 (Link zur Universal Envelope Algebra). im Fall von

Beinhaltet Algebra im Allgemeinen, insbesondere das U(sln)-Motiv, seit Goldierang von

Es lohnt sich, den ursprünglichen Quotienten zu kennen: L ist ein einfacher endlichdimensionaler Modul

U(sln), dann ist seine Dimension genau der Goldierang, der der Stammfunktion entspricht

Quotient (siehe [Jos84], [Pre10, Satz B] und [Bru10, Satz 1.1]), das heißt

dim(L) = GrkU(sln) (U(sln)/Ann(L)) 。

Dies ist also ein sehr naheliegendes Hilfsmittel zur Berechnung der Frage nach dem Goldniveau

suchen.

Nun der Beweis des Satzes:

beweisen. Bei diesem Beweis bezeichne B den Ring Bχg/J(α). also zählen wir

Linkes Ideal Ii in B. In Proposition 7.3.1 wird gezeigt, dass

Bx1

hBx1,x2

Bx2,x1

hBχ2

. . .

Bχph

113

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

wobei Bχi,χjh

∼= eiBej für Paare orthogonaler idempotenter Elemente ei, ej. Hier e1, . . . , p ist die größte Menge orthogonaler idempotenter Elemente in B. Daher finden wir mindestens Spalte p

Das ideale Be liegt in B und B = Be1 ⊕ . . . ⊕ Bep ist eine direkte Summenzerlegung

Wir prüfen lediglich, ob es in den einzelnen Spaltenidealen Bei weitere direkte Summen gibt

Gefangen in Idealen. Von nun an verwenden Sie für Bχi,χjh die Abkürzung Bij

∼= eiBej 。

• Nehmen wir daher an, dass Spalte i Bei ⊇ Ii ⊕ I′i ist, wobei Ii und I′i ideale Werte links von B sind.

Schauen wir uns zunächst einmal an, wie trivial eines dieser Ideale sein muss

andererseits. Dazu suchen wir nach einem regulären Element in Ii ⊕⊕j 6=i

machen:

• Konstruieren Sie dazu zunächst ein Element in Ii, das genau auf der Ebene des diagonalen Eintrags liegt

von Null verschieden (Ii ist im Ideal in Spalte i enthalten). Sei a ∈ Ii von Null verschieden (Ii sollte

ist nicht trivial). Wenn der „Diagonalterm“ ai 6 = 0 ist, dann multipliziere (von links) mit

Idempotent ei, um Elemente der gewünschten Form zu erhalten. ist die Diagonale

Null-Eingabe, alle anderen Aji-Eingaben müssen ungleich Null sein. So wie vorher

Der einzige bedeutende Eintrag, der Aji zu unserem idealen Element machen kann.

Das folgende Lemma wird gezeigt:

Motto 7.5.4. Gilt Bijaji = 0, dann war aji schon null.

beweisen. Aus Bijaji = 0 folgt (ajiBij)(ajiBij) = 0 im Bereich der Integration Bjj und

Daher ist ajiBij = 0. Betrachten Sie nun das Idempotente e = ei + ej . Matrix in

eBe haben ihre Einträge nur an den Positionen (i, i), (i, j), (j, i), (j, j). Sie berechnen

Überprüfen Sie oben, dass a ((eBe)a(eBe))2 = 0 und überprüfen Sie die Identität

B(eBe)a(eBe)B·B(eBe)a(eBe)B = B((eBe)a(eBe))2B = 0。

Da B eine Primzahl ist, ist B(eBe)a(eBe)B = 0 und by

a = e4 · a · e4 ∈ B(eBe)a(eBe)B = 0

Schließlich folgen a = 0 und aji = 0. ,

Aber da wir annehmen, dass Aji 6= 0 ist, ist Bijaji 6= 0

Die Multiplikation unseres a mit dem entsprechenden b ∈ B (insbesondere bij 6 = 0) ergibt

c := ba hat einen Eintrag ungleich Null auf der diagonalen Eintragsebene.

• Dieses Element kann nun zu einem regulären Element in B erweitert werden durch

Definieren Sie eine Matrix C mit Einträgen cii = c, wobei die verbleibenden diagonalen Einträge vorhanden sind

wird durch beliebige Regelelemente des Integritätsrings Bjj und bevölkert

Alle nicht diagonalen Einträge sind gleich Null.

• C ist tatsächlich regulär auf B: Angenommen, wir haben ein weiteres Element P ∈ B mit

Das Produkt PC der beiden Matrizen ist Null. Jeder einzelne Eintrag pij ist bekannt

Jetzt ist pijcjj = 0. Insbesondere pjjcjj = 0, was sofort pjj = 0 impliziert, weil

Bjj Integritätsring ja. Suchen Sie für alle anderen pij, bei denen i 6= j ist, erneut ein Element

qji ∈ Bji und qjipij 6 = 0, vorausgesetzt, dass pij 6 = 0 gilt. Dies führt sofort zu einem Widerspruch,

Da qjipij · cjj = 0 ein Produkt über dem Integrationsfeld Bjj ist, so dass qjipij = 0 usw.

Dann deklarieren Sie pij = 0.

• Es gibt reguläre Elemente in Ii⊕⊕j 6=i

Bej folgt Ii⊕⊕j 6=i

essentiell

Das heißt, siehe [Lam99, Satz 11.13, (2)⇒(5)]. Insbesondere ist der Schnittpunkt von Ii⊕⊕j 6=i

Bucht

hat ein I'i ungleich Null. Dies geschieht nur, wenn der Schnittpunkt von Ii und I'i ungleich Null ist

Ja, das widerspricht der Annahme, dass Bei ⊇ Ii ⊕ I ′i eine direkte Summe ist

Krieg.

114

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

• Das bedeutet, dass keine Spalte direkte Summen nichttrivialer Ideale enthalten kann.

Folge dem

GrkBxg/J(a)

(Bxg/J(a)

)= p =die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von α

gilt, weil wir bereits wissen, dass p =die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von α

Siehe Beobachtung 6.3.2. ,

Beachten Sie 7.5.5 (Zusammenhangskomponenten von <α>Bχ). wir haben schon

Beobachtung 6.3.2 Da <α>Bχ = ⋃E′ + δi + α =

⋃V (h − χi(h)). es ist hier

In der Zariski-Topologie verbunden und die einzelnen Übersetzungen schneiden sich paarweise

NEIN. Verbundene Komponenten variieren mit der Translation E′+δi+α oder mit

V (h−χi(h)) zusammen. Es besteht also die Möglichkeit, den Goldierang von Bχg/J(α) zu berechnen,

Bezahlen Sie die Übersetzung. In Abschnitt 7.7 reduzieren wir diese Aufgabe auf

Die Gitterpunkte werden im Polytop gezählt, das durch die sogenannten Ehrhart-Polynome dargestellt wird

vollständig.

Bemerkung 7.5.6 (Link zur Universal Envelope Algebra). wie schon drin

Hinweis 7.5.3 wurde veröffentlicht. Ist jemand daran interessiert, Goldierang primitiver zu machen?

Macht den Quotienten berechenbar. Für Algebra im Allgemeinen: Joseph in

[Jos80a, Korollar 5.12] Die Goldierang-Funktion

pΛ(µ) = Grk (U(g)/Ann(L(µ))) , µ ∈ h∗

Bei Λ = λ + P (R) (wobei P (R) das integrale Wurzelgitter ist, λ ∈ h∗), in einigen Fällen

Die Teilmenge von Λ hat Polynomform.

Das Problem bei diesen Goldierang-Polynomen besteht jedoch darin, dass sie normalerweise nur eine Skala haben.

home ist deterministisch (siehe z. B. [Jos80a, Kapitel 1.4]), und diese Ergebnisse existieren bereits

Nicht ohne weiteres verfügbar und nur in Sonderfällen anwendbar, siehe [Jos80a], [Jos80b, Theo-

Rem 10.4]. Das spezifische Polynom ist normalerweise unbekannt. Für Lie-Algebren vom Typ A

In letzter Zeit finden sich jedoch spezifische Formulierungen, siehe [Pre-10, Theorem B] und

[Bru10, Satz 1.6]. Der Beweis ist nicht trivial und verwendet theoretische Werkzeuge

W – Die Theorie endlicher Algebren und Darstellungen positiver Eigenschaften.

7.6 Erweiterungen: Polyeder, Polytope und Earhart-Polynome

Ziel ist es, die Anzahl der Gitterpunkte im Polyeder zu bestimmen. genauer

Sagen Sie: Sie befestigen ein Fachwerk, schneiden es mit einem Polyeder und sehen nun, wie

Wenn ein Polyeder erweitert wird, ändert sich die Anzahl der enthaltenen Netzpunkte. Der Trick ist

Diese Variation ist im Streckungsfaktor polynomial – die Form des Polynoms selbst hängt davon ab

Netzwerke und Polytope.

Dieser Exkurs basiert hauptsächlich auf den Einleitungen von [Zie95] und [BR07].

Beide Eingaben funktionieren nur über R. [BR07] Ein Buch verwendet immer nur Standard

Z-Gitter, diese Angaben können jedoch durch Koordinatentransformation beliebig erfolgen

Übertragungsnetz (siehe [BR07, Anmerkung 3.3]).

kann durch Fixieren einer Reihe von Scheitelpunkten und behoben werden

Lassen Sie das Polytop davon ausgehen. Sie können jedoch auf die zugreifen

Der gesamte umgebende Raum wird mithilfe einer Hyperebene (oder auf andere Weise) geschnitten

Sagen wir: Betrachten Sie es als den Schnittpunkt von Halbräumen. Formal die beiden Führer

Die unten definierten Methoden:

Definition 7.6.1 (Polytope). Das Polytop P im Rn hat zwei mögliche Definitionen:

115

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

• P ist die konvexe Hülle der endlichen Punktmenge im Rn:

P = conv(p1, . . . , pk) = {λ1p1 + . . . λkpk | λi ≥ 0,∑

EU=1}

• P ist der Durchschnitt einer endlichen Anzahl abgeschlossener Halbräume

P = P(A, z) = {x ∈ Rn | Ax ≤ z, oder seja, (Ax)i ≤ zi ∀1 ≤ i ≤ l},

Dies ist beschränkt, d. h. P enthält für keinen einen „Radius“ {x + ty | t ≥ 0}

y ∈ Rn (auch Polyeder genannt)

Die Dimensionalität des Polyeders ist die Dimensionalität des erweiterten (affinen) Unterraums von Rn (siehe

[Zie95, Definition 0.1]).

Glücklicherweise beschreiben beide Definitionen dasselbe Objekt:

Satz 7.6.2 ([Zie95, Satz 1.1]). Diese beiden Definitionen sind äquivalent: P =

conv({p1, . . . , pk}) für einige k und einige p1, . . . , pk ∈ Rn genau dann, wenn P = P (A, z) für a

A ∈ Rl×n und z ∈ Rl für ein geeignetes l.

Wenn man nun Polytope durch Halbräume definiert, ist es notwendig, sie einzubeziehen

Muss begrenzt sein. Durch Entfernen dieser Bedingung wird die Definition bereitgestellt

Polyeder. Aber auch in diesem Fall gibt es zwei mögliche Ansätze, die zum gleichen Ergebnis führen

Ergebnis.

Definition 7.6.3 (Polyeder). Eine Teilmenge P von Rn heißt Polyeder, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist

Anwendbare Bedingungen:

• P = conv(p1, . . . , pk) + cone(q1, . . . , qm) ist eine konvexe Menge und a

Kegel:

conv(p1, . . . , pk) = {λ1p1 + . . . λkpk | λi ≥ 0,∑

EU=1}

elektronisch

Kegel(q1, . . . , qm) = {λ1q1 + . . . λmqm | λi ≥ 0}

• P ist der Durchschnitt einer endlichen Anzahl abgeschlossener Halbräume, die unbeschränkt sein können

Das ist:

P = P (A, z) = {x ∈ Rn | Ax ≤ z, , oder seja (Ax)i ≤ zi ∀1 ≤ i ≤ l}

Die Dimensionalität des Polyeders ist die Dimensionalität des erweiterten (affinen) Unterraums von Rn (siehe

[Zie95, Kapitel 0, Kapitel 1.1]).

Satz 7.6.4 ([Zie95, Satz 1.2]). Diese beiden Definitionen sind äquivalent: P =

conv({p1, . . . , pk}) + cone(q1, . . . , qm) für pi, qj ∈ Rn genau dann, wenn P = P(A, z) für a

A ∈ Rl×n e z ∈ Rl。

Fixieren Sie nun ein vollständiges Z-Netzwerk L = spanZ(w1, . . . , wn) ⊂ Rn.

Definition 7.6.5 (Integration von Polytopen). Das Polyederintegral bezüglich L ist das Polyeder

Es gibt Knoten p1, . . . , pk in L (vergleiche [BR07, Kapitel 2.1]).

Definition 7.6.6 (Erweiterte Polytope). Sei P ein ganzzahliges Polytop mit x ∈ Z>0. Europa

P wird erweitert (oder aufgeblasen), indem x ein Polytop ist, das mit xP bezeichnet wird.

xP := {x · p ∈ Rn | p ∈ P}。

116

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Definition 7.6.7 (Gitterfunktionen). Sei P das ganzzahlige Polytop von L

x ∈ Z>0. Definiert die Punktfunktion des LP-Netzwerks (x), wie in [BR07, Kapitel 2.2].

LP(x) := #(xP ∩ L)。

Die LP(x)-Funktion drückt entsprechend dem Dehnungskoeffizienten x ∈ Z>0 aus, wie viele Maschen vorhanden sind

Der Punkt liegt auf dem (geschlossenen) Polyeder P. Verwenden Sie hier Eckpunkte

Das Polyeder von ist ein Gitter, also ist das Polyeder xP auch ein Integral, da x ∈ Z>0. Europa

Besonderheit: LP(x) ist ein Polynom, wie in [BR07, Theorem 3.8] (früher [Ehr62]) beschrieben.

Satz 7.6.8 (Ehrhart der Integralpolytope). Wenn P ein ganzzahliges Polytop von di- ist

Dimension n, dann ist LP(x) ein Polynom vom Grad n in Q[x].

Hinweis 7.6.9. Für x /∈ Z ergibt das numerische LP(x) keinen Sinn mehr.

Einstellung 7.6.10. Sei P ein ganzzahliges Polytop. Schreiben Sie von nun an EHPP(x) statt LP(x) und

Die Polynome werden Ehrhart-Polynome genannt.

Das Konzept der Polytop-Netzwerkzählung kann auch auf rationale Polytope angewendet werden.

Ausgebreitet, also ein Polyeder, dessen Eckpunkte nicht unbedingt in L = spanZ(w1, . . . , wn) liegen.

Erforderlich, kann aber in spanQ(w1, . . . , wn) sein. Diese Polytopie wird durch die Ungleichung dargestellt

Die durch die Integralkoeffizienten von wi beschriebenen Bedingungen, also das System

P = P (A, z) hat die Koeffizienten aij , zj ∈ Z. Es stimmt, dass die Polynomform nicht verwendet werden kann

Erwarten Sie LP(x), aber zumindest in quasipolynomialer Form. Ein Quasipolynom f vom Grad n der

Die Periode m ∈ Z>0 ist ein Polynom vom Grad n mit Koeffizienten, die periodische Funktionen sind

mit einer Periode von m (offensichtlich muss f selbst nicht periodisch sein!). Denn für LP(x) haben wir nur eine

Betrachtet man die Funktion Z→k, können wir f als endliche Familie charakteristischer Polynome behandeln.

Daher verwenden wir die folgende vereinfachte Definition eines Quasipolynoms:

Definition 7.6.11 (ungefähres Polynom, vereinfachte Definition). Quasi-Polynomfilter

Die Periode m ist durch das Polynom f1, gegeben. . . , fm ∈ Q[x], also f(x) = fj(x) für alle x ∈ Z und x = j mod m (siehe auch [MW05]).

gegebene rationale Punkte im Rn mit vollständig abgeschnittenen Zini-Koordinaten

, genannt

Wir sind der Nenner der Punkte.

Ein ähnliches Ergebnis ergibt sich nun aus [BR07, Theorem 3.23]:

Satz 7.6.12 (Ehrhart für rationale Polytope). P ist ein rationales Polytop

Dimension n, also ist LP(x) ein Quasipolynom vom Grad n in Q[x] mit Periode m ≤ d fur

d = min{x ∈ Z>0 | xP Integral} = kgV{Nenner der Eckpunkte}. Gilt auch für: Punkt

Aktion D.

Daher kann für rationale Polytope die Familie {xP | x ∈ Z≥0} verwendet werden, um m verschiedene zu teilen

Kernfamilie Pj := {xP | x = j mod m}, wobei die Gitterpunktfunktion LP(x)

ist ein Polynom in x.

Einstellung 7.6.13. Sei P ein rationales Polytop. Wir schreiben auch das Pseudopolynom EHPP(x)

anstelle von LP(x) und nennen es ein „Ehrhart-Quasipolynom“.

Beachten Sie 7.6.14. Für nichtrationale Polytope gibt es bisher kein vergleichbares

Ergebnisse finden Sie in [BR07, Anmerkung 3.8].

Beachten Sie 7.6.15. Anstatt xP als eine Erweiterung des Polytops P zu betrachten, können wir uns xP auch als vorstellen

Als Schnittpunkt eines geeigneten Polyederkegels und einer Hyperebene (siehe [BR07, Kapitel

117

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

3.3]): Angenommen, ein Polytop P existiert im Rn und hat Eckpunkte p1, . . . , PM. Also definieren

über seinen Kegel

Kegel (P) = {λ1(p1, 1) + . . . λm(pm, 1) | λi ≥ 0} ⊂ Rn+1

Das ursprüngliche Polyeder P ist nun der Schnittpunkt des Kegels und der Hyperebene

H = {x ∈ Rn+1 | xn+1 = 1},

Auch P = Kegel(P ) ∩H.

HINWEIS 7.6.16 (Änderungen im Untergrund). In diesem Kapitel werden Gitterpunkte in Rand vorgestellt

wird gezählt, aber wir wollen, dass k die Merkmale 0 und hat

t∗ = kn Anzahl der Gitterpunkte. Wir können die Netzwerkpunkte aber auch als Qn ⊂ kn schreiben

Zahl, da wir immer nur die V Rationalen (g − χ(g)) und den rationalen Kegel verwenden, der

Das heißt, die definierende Gleichung hat nur rationale Koeffizienten, also

Wir betrachten nur rationale Polyeder. Anschließende Induktion von Qn zu Rn

k ⊗Q − ändert nicht die Anzahl der Gitterpunkte im rationalen Polytop. Europa

Somit berechnen die Ehrhart-Polynome für das Polyeder über R die Gitterpunkte im Polyeder über k.

7.7 Anwendung von Earharts Theorie auf die Regionsfamilie <α>Bχ Wir finden in der Familie t* das integrale oder rationale Polytop P und seine Entwicklung

xP für x ∈ Z>0? Sie entstehen, wenn man versucht, alle Zusammenhangskomponenten von <α>Bχ für α ∈ t∗ mit der gleichen Signalkonfiguration J = J+ ∪ J− zu berechnen.

Die Region <α>Bχ wird in Abschnitt 6.2 als schneidendes <α>Bχ = MJ∩Mϑ Fell beschrieben

MJ =

γ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜｜fur alle j ∈ J vergoldet γj ∈ Z,

γj ≥ 0 fur j ∈ J+,

γj < 0 fur j ∈ J−

Mϑ =

{γ ∈ V (g− χ(g))

‖‖‖‖ ∑j∈J γjηj ∈ ∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi}。

Anmerkung 7.7.1 (Dr. Jekyll und Mr. Hyde). Aus dieser Beschreibung geht hervor, dass

MJ eignet sich gut zur Beschreibung von Verbänden und Polytopen

Das Verhalten von Mϑ scheint schwer zu kontrollieren, zumal Mϑ so weit ist

Keine Beschreibung über Available Grid erhalten.

Da setMϑ schwer zu kontrollieren ist, dient das Folgende nur der Untersuchung

Unter besonderen Umständen ausgeführt. Für den Rest dieses Abschnitts gehen wir von folgenden Annahmen aus:

Ann1 Wie üblich die Festlegung von g und damit auch die rationale Festlegung von V(g), d. h. die Definition der Gleichung

Gene müssen Koeffizienten für Q haben.

Ann2 legt eine Signalkonfiguration J = J+ ∪ J− für g fest.

Nachfrage 3

g* = Palme {ηj | j ∈ J} ⊕ Palme {ηi|i ∈ i}.

Diese Annahme garantiert, dass Mϑ = V (g − χ(g)) (siehe Lemma 7.7.4), also <α>Bχ =

Jordanien.

Hier legen wir jedoch nur die J-Symbolkonfiguration fest, nicht α selbst.

Nicht einmal χ. Das heißt, wir wollen nur prüfen, wie man es beschreibt

〈α〉Bχ com o de 〈α′〉Bχ′, für α′ = x · α com x ∈ Z>0 e χ′ =n∑k=1

a'kηk.

118

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Hinweis 7.7.2. Beispielsweise ist die Annahme (Ann3) erfüllt, wenn

• i = ∅,

• ηi = 0 für alle i ∈ I, oder

• J = ∅

Anwendbar. Der dritte Fall, J = ∅, ist ärgerlich, weil bereits <α>Bχ = V (g − χ(g)) gilt.

In Beispiel 5.7.1 haben wir beobachtet, dass I = ∅ und J = ∅,

Siehe auch Anmerkung 6.2.4.

Hinweis 7.7.3. Entscheidend für die Anforderung ist, dass g∗ = spank{ηj | j ∈ J} ⊕ spank{ηi | i ∈ I} das Äquivalent von ∑ ist

k∈I∪J

γkηk = ∑k∈I∪J

Bruder

e ∑j∈J

γjηj = ∑j∈J

αjηj und ∑i∈I

γi =∑i∈I

Huhn

weitermachen.

Darüber hinaus ist Mϑ unter dieser Annahme nun leicht zu kontrollieren:

Motto 7.7.4. Vergoldung g* = spank {ηj | j ∈ J} ⊕ spanking {ηi | i ∈ I}, dann folgt Mϑ = V (g− χ(g)).

beweisen. Die Einbeziehung von Mϑ ⊂ V (g−χ(g)) ist klar. Dann sei γ ∈ V (g−χ(g)). Von dort folgen Sie weiter unten

Die Annahme über g∗ ∑j∈J

γjηj = ∑j∈J

αjηj 。

Insbesondere ∑j∈J

γjηj∈∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi,

Aus der Definition von Mϑ folgt, dass γ ∈ Mϑ. ,

Hinweis 7.7.5. Unter der Annahme von g∗, ∑j∈J

γjηj∈∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi

Even ist äquivalent zu ∑j∈J

γjηj = ∑j∈J

αjηj 。

Das folgende Lemma dient nur der Veranschaulichung – es besagt, dass die Eigenschaft Mϑ = V (g − χ(g)) in gilt

Die Entwicklung von 〈α〉Bχ bleibt erhalten (und daher für unsere Zwecke geeignet):

Motto 7.7.6. Betrachten Sie α ∈ t∗ und Mϑ = V (g − χ(g)). Also für α′ = x α (mit

x ∈ Z>0) bewahrt die Identität M ′ϑ = V (g− χ′(g)), für χ′ =n∑k=1

a'kηk ist.

119

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

beweisen. Dazu ordnen wir M ′θ leicht um:

M′θ =

{γ ∈ V (g− χ′(g))

‖‖‖‖ ∑j∈J γjηj ∈ ∑j∈J

α′jηj +∑i∈I

Zηi}

{γ ∈ V (g− χ′(g))

‖‖‖‖ ∑j∈J γjηj ∈ ∑j∈J

xαjηj +∑i∈I

Zηi}

⊃

{γ ∈ V (g− χ′(g))

‖‖‖‖‖ ∑j∈J γjηj ∈ x

(∑j∈J

αjηj +∑i∈I

Zηi

)}

{γ ∈ V (g− χ′(g)) | 1

xγ ∈ Mϑ

{γ ∈ V (g− χ′(g)) | 1

xγ ∈ V (g− χ(g))

}= V (g− χ′(g)),

Es ist ohnehin klar, M ′ϑ ⊂ V (g − χ′(g)) einzubeziehen. ,

Definieren Sie dann die Komponenten, die zur Beschreibung jedes Netzwerkbereichs <α>Bχ verwendet werden

Punkte auf dem Polyeder. Nach unserer Hypothese

g* = Spanking {ηj | j ∈ J} ⊕ Spanking {ηi|i ∈ me}

Ja, folge jetzt

〈a〉Bx = MJ =

γ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜｜fur alle j ∈ J vergoldet γj ∈ Z,

γj ≥ 0 fur j ∈ J+,

γj < 0 fur j ∈ J−

Kombiniert also mit der Beschreibung von Lemma 6.3.1

〈a〉Bx =

p⋃i=1

E′ + (δi + α),(2)

Darin heißt es, dass δi in diesem speziellen Fall besonders geschickt gewählt werden kann. Das

Die Beschreibung dient hier hauptsächlich der Veranschaulichung, da gezielte Auswahl erfolgt

Wir werden δi in den folgenden Lektionen nicht mehr benötigen. Es füllt jedoch die Lücken

Zwischen der ursprünglichen Beschreibung von <α>Bχ in (2) und unserer erwarteten Beschreibung

Schreiben Sie <α>Bχ unter Verwendung von Gitterpunkten und Polyedern.

Proposition 7.7.7 (Beschreibung von δi von Gleichung (2)). eine Kanne

{δ1, . . . , δp} =

δ′ ∈ V (g)

｜｜｜｜｜Alle i ∈ I gegeben δ′i = 0,

fur alle j ∈ J vergoldet δ′j ∈ Z,δ′j ≥ −αj fur j ∈ J+,

δ′j < −αj fur j ∈ J−

wählen

beweisen. ist <α>Bχ = ⋃δ′ E

′ + (δ′ + α), d. h. wir müssen beweisen, dass γ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜｜fur alle j ∈ J vergoldet γj ∈ Z,

γj ≥ 0 fur j ∈ J+,γj < 0 fur j ∈ J−

= E′+

δ′ ∈ V (g)

｜｜｜｜｜Alle i ∈ I gegeben δ′i = 0,

fur alle j ∈ J gilt δ′j ∈ Z,δ′j ≥ −αj fur j ∈ J+,δ′j < −αj fur j ∈ J−

+ a

Überprüfen. Dazu formen wir zunächst die zweite Gruppe leicht um. Erstens: δ′∈V(g)

｜｜｜｜｜Alle i ∈ I gegeben δ′i = 0,

fur alle j ∈ J gilt δ′j ∈ Z,δ′j ≥ −αj fur j ∈ J+,δ′j < −αj fur j ∈ J−

+ a =

δ′′ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜｜fur alle i ∈ I gilt δ′′i = αi,

fur alle j ∈ J vergoldet δ′′j ∈ Z,δ′′j ≥ 0 fur j ∈ J+,δ′′j < 0 fur j ∈ J−

120

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Dann addiere an jedem Punkt δ′′ den Unterraum E′ = {γ ∈ V (g) | γj = 0 für j ∈ J} und erhalte γ ∈ V (g − χ(g))

｜｜｜｜｜Für jedes i ∈ I gibt es ein e ∈ E′, mit γi = αi + ei,

fur alle j ∈ J vergoldet γj ∈ Z,γj ≥ 0 fur j ∈ J+,

γj < 0 fur j ∈ J−

enthält <α>Bχ ⊃ gefolgt von

⋃δ′ E

′ + (δ′ + α). denn die andere Richtung ist

siehe diesen Zustand

Für jedes i ∈ I gibt es ein e ∈ E′ mit γi = αi + ei

Automatisch gefüllt für alle γ ∈ V (g−χ(g)). Dann sei γ ∈ V (g−χ(g)). Dann ist γ−α ∈ V (g),

Das heißt, n∑k=1

(γk − αk)ηk = 0。

Da die Annahme g* = spanking {ηj | j ∈ J} ⊕ spanking {ηi | i ∈ I} ist, ist dies bereits ∑i∈I

(γi − αi)ηi = 0

es muss sein. Definiere mit ei e := γi − αi für i ∈ I und ej = 0 für alle j ∈ J. folgen

e ∈ V (g), per Definition ist e erwartungsgemäß auch in E'. ,

wir benennen

δ ∈ V (g− χ(g))

｜｜｜｜｜fur alle i ∈ I gilt δi = αi,

fur alle j ∈ J gilt δj ∈ Z,δj ≥ 0 fur j ∈ J+,

δj < 0 für j ∈ J−

Motto 7.7.8. Sei δ, δ′ ∈ D. Dann ist E′ + δ = E′ + δ′ genau dann, wenn

δ = goldenes δ′.

beweisen. Für ein e ∈ E' haben die Punkte γ in E'+δ alle die Form e+δ. weil per Definition

Aus E′ ist ersichtlich, dass ej = 0 für alle Koordinaten j ∈ J und somit γj = δj für alle j ∈ J. so effektiv

E′ + δ = E′ + δ′, dann ist für alle j ∈ J δj = δ′j. Allerdings gilt nach der Definition von δ auch δ′ ∈ D

Für alle i ∈ I gilt δi = δ′i = αi. Alles in allem erhalten wir δ = δ′. Eine weitere Implikation ist klar. ,

Das folgende Korollar beweist, dass Punkt D die Verbindungsgebühr zahlt

Komponenten von <α>Bχ können verwendet werden.

Folgerung 7.7.9. Die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von 〈α〉Bχ entspricht genau

Kardinalität #D。

beweisen. Die Anzahl der Kombinationen haben wir in Anmerkung 6.3.2 ermittelt

Die Steigungskomponente von <α>Bχ stimmt mit der Translationszahl von E' überein. In Ordnung

Jedes δ ∈ D a wird durch δ+E′ übersetzt. Das vorangehende Lemma 7.7.8 garantiert, dass dies nicht der Fall ist

Bezahlen Sie die Steigungskomponente zweimal. ,

Sei prJ die Projektion von kn auf kJ: = spank {πj | j ∈ J}. Die Basis von D ist immer noch niedriger als

Nehmen Sie diese Vorhersage:

Vorschlag 7.7.10.

121

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

• Anwendbar

prJ(D) =

d ∈ kJ

tt tt tt tt ‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖‖

∑j∈J

djηj = ∑j∈J

αjηj

fur alle j ∈ J vergoldet dj ∈ Z,dj ≥ 0 fur j ∈ J+,

dj < 0 fur j ∈ J−

• #D = #prJ(D) ist gültig.

Gerichtsverhandlung.

• Dies ergibt sich direkt aus den Definitionen von prJ und D.

• Aus unseren Annahmen über g* folgt, dass es eine Bijektion zwischen D und prJ(D) gibt.

aus. Die Abbildung D → prJ(D) ist offensichtlich durch δ 7→ prJ(δ) gegeben. für

Die inverse Abbildung prJ(D) → D berücksichtigt d ∈ prJ(D). Insbesondere gilt ∑j∈J

djηj = ∑j∈J

αjηj . Definieren Sie nun d 7→ δ, wobei δj := dj für alle j ∈ J und δi := αi für alle

i ∈ I, was tatsächlich ein Element von D ist,

Hinweis 7.7.11. Es gilt immer noch (als direkte Folge der Definition)

#D = #prJ(D) = #prJ(MJ) = #prJ

(Ex

Dadurch wird eine spezifische Angabe von Rasterpunkten überflüssig.

warum prj

(Ex

) lebt sowieso in ZJ und darf nur über Q arbeiten. wir nahmen

Was ist neu daran, dass wir wieder zusammen sind:

Einstellung 7.7.12. Wir werden von nun an mit Ihnen zusammenarbeiten.

QJ := spanQ {πj | j ∈ J}αJ := (αj)j∈J ∈ QJ

χJ :=∑j∈J

αjηj

Moderator: =

v∈QJ|∑j∈J

vjηj = χJ

Unser Ziel ist es zu zeigen, dass prJ

(Ex

) Das Ergebnis ist der Schnittpunkt des Polyeders und des Gitters

beschrieben werden, das wie folgt definiert ist:

Einstellung 7.7.13. Polyeder definieren

PJ :=

{d∈VJ

｜｜｜｜dj ≥ 0 für j ∈ J+,

dj ≤ −1 fur j ∈ J−

} und das Standard-Z-Gitter

L = ZJ = spanZ {πj | j∈J}。

Motto 7.7.14. Natürlich gibt es PJ∩L=prJ(D)=prJ

(Ex

beweisen. Schreiben Sie weiter die Einstellungen. ,

122

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Wir verfeinern unseren Ansatz noch einmal: Wir schaffen einen allgemeinen Rahmen

〈α〉Bχ und seine Entwicklung 〈xα〉Bχ′ übersetzen wir nun die Bedeutung von polytopischem PJ

Beschreibung aus Anmerkung 7.6.15, als Schnittpunkt des Polyederkegels ΔJ mit a

Unterräume in QJ.

Definition 7.7.15 (polyedrischer Kegel). Wir definieren den Kegel eines Polyeders durch

∆J := {v ∈ QJ | vj ≥ 0 fur j ∈ J+, vj ≤ −1 fur j ∈ J−}

{v∈QJ

‖‖‖‖ Λj(v) ≤ 0 fur j ∈ J+,

Λj(v) ≤ −1 fur j ∈ J−

Stellung der Funktion bei der Definition von Ungleichungen

Λj :=

{Λj(v) = −vj , cai j ∈ J+

Λj(v) = vj , cai j ∈ J−

benutzen.

Bemerkung 7.7.16 (im Vergleich zum Polyederkegel C'). Definition der Richtung Λj

basiert auf der Definition von λj in Abschnitt 6.2 und ∆J −α ähnelt

Kegel C' aus Abschnitt 6.2.

Der Vorteil dieser Definition von ΔJ besteht darin, dass sie unabhängig von χ ist und daher für gilt

Berechnen Sie alle FlächenVerbundene Komponenten von Bχ′, wobei x ∈ Z>0.

Satz 7.7.17 (Eigenschaften von PJ und ΔJ). Die Mengen PJ und ∆J erfüllen

Die folgenden Eigenschaften:

1. PJ = ∆J ∩ VJ 。

2. PJ ist tatsächlich ein Polyeder, also ein begrenztes Polyeder.

beweisen. 1. PJ = ∆J ∩ VJ kann per Definition gelesen werden.

2. PJ ist ein Polyeder, weil PJ aus linearen Gleichungen (in der Definition von VJ) und linearen Gleichungen besteht

Die Ungleichheitsbedingungen sind angegeben (in der Definition von ΔJ). Grenze

Wir untersuchen das verschobene Polyeder PJ − αJ = (ΔJ − αJ) ∩ V0, wobei

V0 = {v∈QJ|∑j∈J

vjηj = 0} = prJ(V(g)∩Qn)。

Per Definition gilt für jedes γ ∈ V (g) ∩ Qn auch λj(γ) = Λj(prJ(γ)), also das Bild

Unter diesen wird Λj in V0 durch λj bestimmt. Für λj ∈ (V(g)∩Qn)∗ existiert nach dem Lemma

6.1.9 (nach der Definition einer Reihe von Indikatoren J) rationale Koeffizienten qj > 0 mit ∑j∈J

qjλj = 0。

Wenn wir Λj auf V0 als Element von V ∗0 beschränken, dann ist ∑j∈J wie folgt

qjΛj = 0,

Jetzt können wir Ober- und Untergrenzen für alle Koeffizienten vj von v ∈ (ΔJ −αJ) ∩ V0 angeben:

123

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

• j ∈ J+: in diesem Fall vj ≥ −αj und

vj = −Λj(v) =1

∑k 6 = j

qkΛk(v) ≤ 1

∑k 6 = j

qk(−αk)。

• j ∈ J−: in diesem Fall vj ≤ −1− αj und

vj = Λj(v) = − 1

∑k 6 = j

qkΛk(v) ≥ 1

∑k 6 = j

qkαk。

Das nächste Ziel ist die Menge prJ mit α′ = xα und x ∈ Z>0

(Bx′

) als „Erweiterung“

Öffentlichkeitsarbeit

(Ex

) beschreiben. Genauer gesagt verwenden wir P ′ J (Potenz

lytop) als PJ-Verlängerung durch die entsprechende Verlängerung. wir werden gehen

Beachten Sie, dass das z-Zentrum unserer Dilatation nicht immer der Punkt 0 ∈ QJ ist,

Aber (abhängig von J, aber nicht von χ!) als Punkt z ∈ QJ mit

zj =

{0 fur j ∈ J+

−1 fur j ∈ J−

muss definiert werden. Das heißt, man muss zuerst PJ∩L um −z verschieben und dann PJ erweitern

und ändern Sie das Ergebnis wieder in prJ

(Bx′

Gegenstand benutzen

(Ex

)erhalten.

Der Streckungsfaktor ist nicht x selbst, sondern linear zu x. muss die Größe ändern

Berücksichtigt die Z-Verschiebung. Einzelheiten zu den Problemen finden Sie weiter unten

beanspruchen.

Vorschlag 7.7.18 (Erweiterung). Beschreibung von PRJ

(Ex

) als Abschnitt PJ∩L

Unter erweiterungskompatibler Größenänderung, also für x ∈ Z>0

Öffentlichkeitsarbeit

(Bx′

)= (f(x)(PJ − z) + z) ∩ L。

In diesem Fall übernimmt die lineare Funktion f(x) die Skalierung des Streckungsfaktors; genauer gesagt gilt Folgendes

f(x) =x− a0

1− a0com a0 mit z ∈ a0 α+ V0

V0 = {v ∈ QJ |∑j∈J

vjηj = 0} ähnelt V(g) zuvor. Insbesondere ist a0 gerade

Hängt von α und z ab, aber nicht von x.

beweisen. Setzen Sie dazu einfach die Definition wieder ein. von x > 0 und x

Das Integral folgt für xα der gleichen Vorzeichenkonfiguration wie für α. Also bewerben Sie sich

〈xα〉Bχ′ = M′J =

γ ∈ V (g− χ′(g))

｜｜｜｜｜fur alle j ∈ J vergoldet γj ∈ Z,

γj ≥ 0 fur j ∈ J+,

γj < 0 fur j ∈ J−

und immer noch prJ nach Lemma 7.7.14

(Bx′

)= P ′ J ∩ L o dass

P'J :=

{d∈V′J

｜｜｜｜dj ≥ 0 für j ∈ J+,

dj ≤ −1 fur j ∈ J−

daher

V′J :=

v∈QJ|∑j∈J

vjηj = ∑j∈J

α′jηj = χ′J

124

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Jetzt müssen wir zeigen, dass P ′J = f(x)(PJ − z) + z or

P ′J − z = f(x)(PJ − z)

Anwendbar. Zuerst bestimmen wir f(x). Erinnerung: f(x) muss die Multiplikation erfüllen

Verschiebe (α − z) mit f(x) und dann z zurück mit

das ursprüngliche xα bis auf ein Element

v0 ∈ V0 := {v ∈ QJ |∑j∈J

vjηj = 0},

Analoga von V(g). In der Formel:

f(x)(α− z) + z = xα+ v。

Sei a0 erfüllt z ∈ a0 α ∈ V0, also z = a0α+ v0 und v0 ∈ V0. Eine kurze Rechnung ergibt

f(x) =x− a0

1− a0und v =

1− x1− a0

v0。

Die Erklärung stammt nun aus einer kurzen Manipulation der Definition:

f(x)(PJ − z) = f(x) ·({

d ∈ VJ|||| dj ≥ 0 fur j ∈ J+,

dj ≤ −1 fur j ∈ J−

}− z

)

= f(x) ·

d∈QJ

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∑j∈J

djηj = ∑j∈J

αjηj

dj ≥ 0 fur j ∈ J+,

dj ≤ −1 fur j ∈ J−

- z

= f(x) ·

d∈QJ

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∑j∈J

(dj + zj)ηj =∑j∈J

αjηj

dj + zj ≥ 0 fur j ∈ J+,

dj + zj ≤ −1 fur j ∈ J−

= f(x) ·

d∈QJ

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∑j∈J

djηj = ∑j∈J

(αj − zj)ηj

dj ≥ 0 fur j ∈ J+,

dj ≤ 0 fur j ∈ J−

d∈QJ

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∑j∈J

djηj = f(x) ·∑j∈J

(αj − zj)ηj

dj ≥ 0 fur j ∈ J+,

dj ≤ 0 fur j ∈ J−

Kombinieren Sie dies mit

P ′ J − z =

{d∈V′J

｜｜｜｜dj ≥ 0 für j ∈ J+,

dj ≤ −1 fur j ∈ J−

}− z

d∈QJ

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∑j∈J

djηj = ∑j∈J

xαjηj

dj ≥ 0 fur j ∈ J+,

dj ≤ −1 fur j ∈ J−

- z

d∈QJ

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∑j∈J

(dj + zj)ηj =∑j∈J

xαjηj

dj + zj ≥ 0 fur j ∈ J+,

dj + zj ≤ −1 fur j ∈ J−

d∈QJ

‖‖‖‖‖‖‖‖‖∑j∈J

djηj = ∑j∈J

(xαj − zj)ηj

dj ≥ 0 fur j ∈ J+,

dj ≤ 0 fur j ∈ J−

125

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

dann hast du Gleichheit

f(x)·∑j∈J

(αj − zj)ηj =∑j∈J

(xαj − zj)ηj

Überprüfen. Aber jetzt nach dem Bau

f(x)(α− z) = (xα− z) + v,

Da v ∈ V0, gilt tatsächlich ∑j∈J

wieder = 0,

Damit ist der Beweis abgeschlossen. ,

Aber zum Glück ist z ein Outlet, also müssen die Outlets bezahlen.

In gestreckten Polytopen P'J ist keine Rückwärtsbewegung mehr erforderlich. sofort Schlussfolgerungen ziehen

Dann lautet die nächste Folgerung von Proposition 7.7.18:

Folgerung 7.7.19. die Anzahl der verbundenen Komponenten in allen Bereichen der Form

Bχ′ ist gleich #(f(x)(PJ − z) ∩ L) für x ∈ Z>0.

beweisen. Da z selbst ein Punkt im Gitter ist, ist die Anzahl der Punkte in (f(x)(PJ − z) + z) ∩ L gleich der Anzahl der Punkte in f(x)(PJ − z) ∩ L,

Nutzen Sie nun Earharts Theorie.

Beachten Sie 7.7.20. • Es muss unbedingt V (g) = {(α)i ∈ kn |∑αiηi = gelten

χ} mit einer Beschreibung rationaler (oder integraler) Koeffizienten – andernfalls

Earharts Theorie ist nicht anwendbar. Daher nehmen wir an (Ann1) -

muss setzen

• Ehrharts klassische Quasipolynome erfordern einen integralen Streckungsfaktor. uns

Es muss also nicht nur x, sondern die Gesamtheit von f(x) angenommen werden. Allerdings gibt es zwei

Abschnitt 7.8 diskutiert eine Lösung für dieses Problem.

Folgerung 7.7.21. Sei x, f(x) ∈ Z>0. Sei m := min{f(x) ∈ Z>0 | f(x)PJ Integral}. sterben

gegeben durch #(f(x)(PJ − z)∩L)Die Anzahl der verbundenen Komponenten von Bχ′.

ist nahezu polynomial in x, d. h. f(x) ∈ Z≥0 und f(x) = j mod m für alle x

#{Zusammenhangskomponenten von Bχ′}} = #(f(x)(PJ − z) ∩ L) = EHPPJ−z(f(x))

ein Polynom in Q[x].

Beachten Sie 7.7.22. Nach Satz 7.6.12 kann die Periode m sogar kleiner sein als min{f(x) ∈ Z>0 | f(x)(PJ − z) Integral }, aber sie teilt diese Zahl immer.

Beweis (aus Korollar 7.7.21). In Folgerung 7.7.19 heißt es:

Die Zusammenhangskomponenten von 〈xα〉Bχ′ werden durch die Gitterpunkte in f(x)(PJ − z) ∩ L gezählt

Diese Aussage ist eine direkte Konsequenz aus Ehrharts Satz 7.6.12

纳尔 Polyzystischer Körper. ,

7.8 Berechnung des ursprünglichen Handelsgoldbereichs

Verwendung von Ehrhart-Polynomen

Wir überprüfen die Annahmen des vorherigen Abschnitts:

Ann1 Wie üblich die Festlegung von g und damit auch die rationale Festlegung von V(g), d. h. die Definition der Gleichung

Gene müssen Koeffizienten für Q haben.

126

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Ann2 legt eine Signalkonfiguration J = J+ ∪ J− für g fest.

Ann3 Fordere g∗ = spank {ηj | j ∈ J} ⊕ spanking {ηi|I ∈ I}.

Dann erhalten wir unter Verwendung früherer Arbeitsergebnisse den folgenden Satz über Gold

Klassifizierung des primitiven Quotienten Bχ/J(α), wobei Bχ wie zuvor aus der Weyl-Algebra stammt

oder:

Satz 7.8.1 (Goldier-Punkt für Bχ/J(α), Integralfall). Sei α ∈ t∗ konfi-

Zeit J = J+∪J−. Sei x, f(x) ∈ Z>0. Angenommen, (Ann1)-(Ann3)

liefern. Dann ist der Goldierang des primitiven Quotienten Bχ′/J(xα) ein Quasipolynom

in x von

GrkBχ′/J(xα)(Bχ′/J(xα)) = EHPPJ−z(f(x)),

wobei EHPPJ−z(f(x)) das Ehrhart-Quasipolynom des rationalen Polytops ist

PJ-z

Bezogen auf das Standardraster L = ZJ aus Abschnitt 7.7 verbunden mit linearer Skalierung

f(x) des Vorschlags 7.7.18.

beweisen. Nach Satz 7.5.1 ist der Goldier-Rang des primitiven Quotienten Bχ′/J(xα) gleich

〈xα〉Die Anzahl der verbundenen Komponenten von Bχ′. Diese Zahl steht im Einklang mit Korollar 7.7.21

Bestimmt durch das Ehrhart-Quasipolynom EHPPJ−z(f(x)). ,

Detailliertere Eigenschaften dieser Polynome finden sich in der Literatur zu Ehrhart-Polynomen, zur

Zur Berechnung ihrer Koeffizienten siehe zB [BR07]. Insbesondere kann man

Erhalten Sie die folgende Folgerung aus Earharts klassischer Theorie:

Folgerung 7.8.2. Das Goldierang-Quasipolynom von Satz 7.8.1 hat höchstens den Grad |J|.

beweisen. Dies folgt aus der entsprechenden Aussage für Ehrhart-Quasipolynome, siehe [BR07,

3.23]. Wir verbinden die Ehrhart-Quasipolynome mit einer linearen Funktion, so dass

Abschlüsse bleiben erhalten. ,

Wir müssen die zusätzliche Annahme f(x) ∈ Z in Satz 7.8.1 akzeptieren, um die klassische Voraussetzung zu erfüllen

Earharts (und bekannte) Theorie der Quasipolynome. Jedoch

Wir können diese Anforderung ignorieren, wenn wir die entsprechende Verallgemeinerung verwenden

Die Entwicklung von Earharts quasipolynomialen Werken. Rationales Ehrhart-Quasipolynom EHPQ, as

Gefunden in [Lin11], um rationale Inflationsfaktoren zu akzeptieren. Aber f(x) ist immer

rationale Zahlen, weil f(x) = x−a01−a0 und a0 eine Lösung für ein System linearer Gleichungen mit Koeffizienten ist

Realisiert in Q (wir berechnen den Schnittpunkt des Strahls durch α mit dem Strahl durch die rationalen Zahlen

Die Koeffizienten des gegebenen affinen Unterraums z + V0). Es gelten daher andere Bedingungen

f(x) ist weit. Die Aussage gilt also allgemeiner

Satz 7.8.3 (Goldier-Punkt von Bχ/J(α), rationaler Fall I). Sei α ∈ t∗ das Symbol

Konfiguration J = J+ ∪ J−. Sei x ∈ Z>0. Angenommen, (Ann1)-(Ann3)

liefern. Dann ist der Goldierang des primitiven Quotienten Bχ′/J(xα) ein Quasipolynom

in x von

GrkBχ′/J(xα)(Bχ′/J(xα)) = EHPQ

PJ−z(f(x)),

wobei EHPQPJ−z(f(x)) das rationale Ehrhart-Quasipolynom des rationalen Polytops ist

PJ-z

Bezogen auf das Standardraster L = ZJ aus Abschnitt 7.7 verbunden mit linearer Skalierung

f(x) des Vorschlags 7.7.18.

127

7 Die Struktur des Grundideals der Bχ-Algebren

(Algebra von WEYL)

Daher kann der Goldrang von Bχ′/J(xα) unter den oben genannten Bedingungen als endlich geschrieben werden

Beschreibt Polynomfamilien, auch im Fall der rationalen Quasipolynome von Ehrhart, siehe

[Lin11, Satz 1.6]

Nun ist es in unserem speziellen Fall auch möglich, das Plausibilitätsproblem zu lösen.

Durch die Wahl des endgültigen Dehnungsfaktors des intelligenten Polytops: unseres

Der Streckungsfaktor hat die Form x−a01−a0, wobei a0 = aZ

aN∈Q. Die Konstruktion von a0 ergibt ebenfalls

Zeigt, dass a0 < 1, also aN − aZ > 0. Der Streckungsfaktor kann nun umgeschrieben werden als

x− a0

1− a0=aNx+ aZaN − aZ

Der Nenner dieses Bruchs ist unabhängig von x, da nur α und

g wurde bereits berechnet und ist daher eine Konstante.

Definieren Sie daher ein neues rationales Referenzpolytop Q := 1aN−aZ (PJ − z). Anwendbar

f(x) · (PJ − z) = (aNx+ aZ) ·Q,

Daher wandeln wir die rationale Entwicklung von PJ − z in die integrale Entwicklung von Q um

Del. Eine dritte Variante unseres Satzes besagt nun:

Satz 7.8.4 (Goldier-Punkt für Bχ/J(α), Rationaler Fall II). Sei α ∈ t∗ das Symbol

Konfiguration J = J+ ∪ J−. Sei x ∈ Z>0. Angenommen, (Ann1)-(Ann3)

liefern. Dann ist der Goldierang des primitiven Quotienten Bχ′/J(xα) ein Quasipolynom

in x von

GrkBχ′/J(xα)(Bχ′/J(xα)) = EHPQ(aNx+ aZ),

wobei EHPQ(aNx+ aZ) das klassische Ehrhart-Quasipolynom des rationalen Polytops ist

P:=1

aN − aZ(PJ − z)

Bezogen auf den Standardverband L = ZJ aus Abschnitt 7.7, mit linearem Integral

aNx+ auf Z umskalieren).

Hinweis 7.8.5. Das Ergebnis in Satz 7.8.1 des zentralen Originalquotienten

Die Quotienten von Hüllalgebren höherer Ordnung sind bereits in [BLPW10, Beobachtung

7.5] erwähnt.

Hinweis 7.8.6. Natürlich empfiehlt es sich, die Annahme von g∗ etwas zu reduzieren

Wohlwollen. Musson und Van den Bergh geben ein Beispiel in [MVdB98, Beispiel 7.2.7], wo

Bei einer symbolischen Konfiguration entstehen zwei unterschiedliche Mengen Mϑ, M′ϑ. Ich verstehe

Man sollte nicht erwarten, dass die Hypothese (Ann3) ausgeschlossen wird. Allerdings, Hoffnung

Transformieren Sie die Menge Mϑ so, dass Sie konkrete Teilnetze des Standardnetzes erhalten

Zink kann lesen. Das zweite Problem besteht darin, dass <α>Bχ undSind diese Teilnetze von Bχ' konsistent? Dann können ähnliche Ergebnisse wie in 7.8.1 erzielt werden

Ehrhart-Quasipolynome müssen unter Bezugnahme auf dieses neue Teilnetz berechnet werden.

128

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毕业论文 Die Beschreibung primitiver Ideale durch ... 2013. 9. 13. · DIPLOMA THESE Die Beschreibung primitiver Ideale durch Hyperebenen und vorbereitete Gitterpunkte - [PDF-Download] (2023)